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Lösungsmenge einer linearen Gleichung
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leftfordead
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Anmeldungsdatum: 11.10.2011
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2011 - 19:34:17    Titel: Lösungsmenge einer linearen Gleichung

Hallo, die Aufgabe lautet wie folgt:

Berechnen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

x + y + 2z − 3w = 1
2x + 2y − 2z + w = 5
x + y − 2z + 5w = 5

mit x, y, z,w ∈ R.


Was genau heisst es, die Lösungsmenge zu bestimmen? Ich dachte immer, es geht bei der Lösungsmenge darum, die Unbekannten durch Substitution oder Gauß-Verfahren herauszufinden, allerdings funktioniert das irgendwie nicht. Bin momentan noch ziemlich eingerostet was Mathe angeht, vielleicht ist die Lösung ja auch ganz einfach, allerdings komme ich einfach nicht drauf.
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 513

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 06:30:01    Titel:

Hallo,

nun: Im Allgemeinen haben lineare Gleichungssysteme nicht nur genau eine Lösung, sondern ganz viele verschiedene Lösungen (oder im schlimmsten Fall sogar überhaupt keine Lösung). Die Menge der Lösungen bildet aber (falls sie nicht leer ist) einen affinen Vektorraum.
Meistens kann man schon durch die Anzahl der Gleichungen und die Anzahl der Unbekannten erahnen, wie viele Lösungen es gibt. Gibt es genauso viele Gleichungen wie Unbekannte, so gibt es (meistens) auch nur genau eine Lösung. Gibt es mehr Unbekannte als Gleichungen (was bei dir der Fall ist), dann gibt es (meistens) unendlich viele Lösungen, usw.
Das sind kleine Hilfen, die wie gesagt meistens, aber leider nicht immer funktionieren
(Das "GLS" x = x z. B. hat zwar genauso viele Unbekannte wie Gleichungen, dennoch gibt es unendlich viele Lösungen =) )

Löse das GLS z.B. durch ineinander Einsetzen der Gleichungen. Irgendwann kommt dann etwas heraus, was z. B. nur noch von einer Unbekannten abhängt.

Beispiel:

I: 2x + 5y + 8z = 1
II: x + 2y = 2

Auflösen von II nach x und Einsetzen in I:
x = 2 - 2y => 2(2 - 2y) + 5y + 8z = 1
<=> 4 - 4y + 5y + 8z = 1
<=> y = -8z - 3

Lösungsmenge = {(x, y, z) € R³ | y = -8z - 3}

Lg, sranthrop
leftfordead
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Anmeldungsdatum: 11.10.2011
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 11:18:16    Titel:

Vielen Dank erstmal für deine Hilfe. Deine allgemeinen Erläuterungen sind schonmal sehr hilfreich.

Ich habe jetzt meine Aufgabe:

I: x + y + 2z − 3w = 1
II: 2x + 2y − 2z + w = 5
III: x + y − 2z + 5w = 5

folgendermaßen gelöst:

Zeile III nach x auflösen:
III: x = 5 - y + 2z -5w

Einsetzen in I und auflösen nach z:
5 + 4z - 8w = 1
4z = 8w - 4
z = 2w - 1

Einsetzen in I:
5 - y + y + 4(2w-1)-8w=1
5 -4 = 1
1 = 1




So weit war ich auch gestern schon als ich dieses Thema erstellt habe.

Ist die Lösungsmenge jetzt einfach
L = {(x,y,z,w) € R³ | z= 2w-1} ?


Und ist es eigentlich egal, wann und wo ich etwas einsetzte wenn ich nach einer Unbekannten aufgelöst habe?
leftfordead
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Anmeldungsdatum: 11.10.2011
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 11:28:01    Titel:

Hmm, wenn ich z und x in II einsetze, komme ich auf:

10-2+4w-10w+2-4w+w=5
w=5/9

Jetzt bin ich wieder komplett verwirrt.
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 513

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 21:08:59    Titel:

Hi,

also der Anfang bis "z = 2w - 1" stimmt schonmal.
Das hast du (wie beschrieben) dadurch gewonnen, indem du III nach x aufgelöst und in I eingesetzt hast. Wenn du nun z wieder in I einsetzt, kommt natürlich eine stets wahre Aussage (hier 1 = 1) heraus, was zwar nicht falsch, aber auch nicht zielführend ist.

Zusammenfassend:
Aus I und II haben wir
x = 5 - 5w + 2z - y
z = 2w - 1

=> x = 5 - 5w + 2(2w - 1) - y = ... = 3 - w - y

Damit hängt x nur noch von w und y ab, genauso auch z. Diese beiden Ausdrücke setzt du jetzt in II ein und kannst dadurch noch eine Variable loswerden. Als Endergebnis erhalte ich
x = 12/5 - y
y beliebig
z = 1/5
w = 3/5

und damit
L = {(x, y, z, w) € R^4| x = 12/5 - y, z = 1/5, w = 3/5}

Versuche mal, darauf selbst zu kommen und melde dich, wenn du irgendwo steckenbleibst =)
JimboTSoV
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Anmeldungsdatum: 13.10.2011
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 13 Okt 2011 - 05:04:13    Titel:

leftfordead, du bist nicht zufaellig bei zwegers lina 1 in koeln? ^^ ich komm auf jeden fall auf das gleiche wie sranthrop. Ich wollte nur anmerken dass du auch ueber zeilenaddition/subtraktion ans ergebnis kommst. Ging bei mir ziemlich einfach.

Nebenbei noch ne frage, mal angenommen das lgs stammt von zwei ebenen dessen schnittgerade man sucht. Was muss man da nochmal machen? ^^ wuerde das bei diesem beispiel ueberhaupt funktionieren, abgesehen davon dass man die stuetzvektoren nicht kennt?
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 513

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2011 - 13:08:42    Titel:

Hi,

also prinzipiell gehst du dann ganz genauso vor. Die Lösungsmenge, sofern sie dann von genau einem Parameter abhängt, beschreibt dann die Menge derjenigen Punkte, die auf der Geraden liegen.
Da wir uns hier im 4-dim. Raum befinden wirds halt schwierig mit der Anschauung =)

Lg, sranthrop
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