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Ungleichmäßige Beschleunigung - wie berechen?
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füsigstudy
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Anmeldungsdatum: 19.03.2009
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BeitragVerfasst am: 20 Okt 2011 - 12:25:36    Titel: Ungleichmäßige Beschleunigung - wie berechen?

Hallo Freunde der Physik,

ich bräuchte mal bitte eure Unterstützung.

Ich habe ein Projekt bekommen, bei dem es um folgendes geht:
Ein massives Gewicht kann über einen Elektromotor entlang einer horizontalen Schiene bewegt werden. An beiden Schienenenden sind Gummistopper angebracht, sodass die Masse nicht die Schiene verlassen kann. Meine Aufgabe ist es, die Kräfte bzw. die Beschleunigungen zu ermitteln, die beim Zusammenprall Masse<->Gummistopper auf die Masse wirken/ entstehen.
Am meisten bin ich für die maximale Beschleunigung der Masse während des Zusammenpralls interessiert.
Nun erstmal meine Gedanken hierzu:
1.) Näherung durch die Annahme, die Beschleunigung sei während des Zusammenpralls zeitlich konstant:Über die Formel v^2-v0^2=2*a*s ließe sich die konst. Beschleunigung ausrechnen aber dieser Ansatz ist Quatsch, da ich mich nicht für eine vll. in erster Näherung gute mittlere Beschleunigung interessiere, sondern für die maximal auftretende Beschleunigung a(t).
2.) Mein zweiter Ansatz wäre, über eine Kombination aus Energieerhaltung und Impulserhaltung dich Sache zu lösen. Da bin ich gerade drüber, weiss aber nicht ob das was wird.
3.) Numerischer AnsatzWie wäre soetwas anzugehen? Bräuchte ich dazu ein Differentialgleichsystem oder ginge es einfacher?

Werde jede neue Erkenntnis meinerseits mitteilen.
Falls jemand Infos/Ratschläge/Tipps für mich hat, ich bin für alles davon sehr dankbar.

Schöne Grüße
Chris

P.S.: Ist ein Projekt für die Industrie, sollte also ziemlich exakt und unter Berücksichtung aller Randbedingungen sein.
DrStupid
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Anmeldungsdatum: 11.07.2009
Beiträge: 321

BeitragVerfasst am: 20 Okt 2011 - 20:51:39    Titel: Re: Ungleichmäßige Beschleunigung - wie berechen?

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

1.) Näherung durch die Annahme, die Beschleunigung sei während des Zusammenpralls zeitlich konstant


Als erste Näherung kann man das gelten lassen. Aber wie Du selbst sagst, ist das sehr ungenau. Wie wäre es statt dessen mit dem Hookschen Gesetzt? Mit der Annahme, dass der Gummistopper sich wie eine Feder verhält, sollte das Ergebnis deutlich genauer werden. Allerdings bräuchtest Du dann die Federkonstante.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

2.) Mein zweiter Ansatz wäre, über eine [i]Kombination aus Energieerhaltung und Impulserhaltung dich Sache zu lösen.


Das wäre ein vollständig elastischer Stoß und damit kommst Du überhaupt nicht weiter, weil Dir dieser Ansatz ohne zusätzliche Informationen nichts über die Dynamik des Prozesses sagt.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

3.) Numerischer AnsatzWie wäre soetwas anzugehen?


Ohne zusätzliche Informationen gar nicht.

Vielleicht solltest Du erst einmal zusammenfassen, welche Möglichkeiten Dir für die Lösung der Aufgabe zur Verfügung stehen. Die erste Frage ist dabei, ob Du das Problem theoretisch lösen sollst (das wäre ein harter Brocken) oder ob Du Experimente machen kannst.
füsigstudy
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Anmeldungsdatum: 19.03.2009
Beiträge: 51
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 21 Okt 2011 - 13:08:57    Titel:

Hi DrStupid,

zunächst einmal vielen Dank für deine Antwort!

Ich sehe das zum größten Teil auch so wie du:
1.) Gummistopper mit Feder nähern: So hatte ich mir das auch schon gedacht und werde es auch so machen, danke.
2.) Der Engergieansatz bringt mich nicht weiter!

Ich hab mir das jetzt folgendermaßen überlegt:
Ich werd das System, welches ich dynamisch betrachten soll, mal dynamisch mit Matlab simulieren und zwar als SS-Model (LTI). Der einzige Input, der für die Simulation erforderlich ist, ist die DGL,
die das System beschreibt:
m*(d²x/dt²)=-k*x-q*(dx/dt)+F0
mit x: Federkonstante (Gummihärte) und q: Reibungskoeffizient
Idee ist es, die Kollision über die äußere Kraft F0 zu beschreiben.
Nun das System dynamisch über ein SS-Model in Matlab simulieren,
dann das Ergebnis der Simulation qualitativ betrachten und durch eine Messung mit einem Beschleunigungsensor am realen System die Simulation verifizieren.

Die Fragen sind nun:
Ich würde annehmen, dass die Paramter in der obigen DGL so beschrieben werden können:
m: Masse des Gummistoppers (z.B. 0,1 kg)
F0: Die Kraft, die die Masse beim Aufprall auf den Gummistopper wirken lässt (z.B. 100N)
- Über welches Zeitintervall lasse ich F0 auf den Gummistoper einwirken?
Über den ganzen Stoßprozess oder nur impulsiv zu Beginn der Kollision?
- Wie ich die "Federkonstante" des Gummis bestimmen könnte, weiss ich, doch wie könnte ich z.B. den Reibungskoeffizient bestimmen?

Passen meine der Simulation zugrundeliegenden physikalischen Betrachtungen und Annahmen?

Wieder mal für jede Info dankbar!

Schöne Grüße
Chris
DrStupid
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Anmeldungsdatum: 11.07.2009
Beiträge: 321

BeitragVerfasst am: 22 Okt 2011 - 14:31:39    Titel:

füsigstudy hat folgendes geschrieben:
2.) Der Engergieansatz bringt mich nicht weiter!


Der würde Dich weiterbringen, wenn nur Gleitreibung im Spiel wäre. In Deine Differentialgleichung hast Du statt dessen viskose Reibung eingebaut. Da ist der Energieansatz aber auch nicht völlig nutzlos (siehe unten).

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

m*(d²x/dt²)=-k*x-q*(dx/dt)+F0


Ohne F0 wäre das eine lineare homogene DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die analytisch lösbar ist (über die charakteristische Gleichung). Mit F0 oder zusätzlicher Gleitreibung ist die DGL inhomogen.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

m: Masse des Gummistoppers (z.B. 0,1 kg)


m ist die Masse des Gewichtes, das gegen den Stopper knallt. Wenn Du auch noch die Masse des Stoppers berücksichtigen willst, dann wird es komplizierter. Ich würde ihn in erster Näherung als unbewegt ansehen und prüfen, ob das System damit hinreichend genau beschreibbar ist.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

F0: Die Kraft, die die Masse beim Aufprall auf den Gummistopper wirken lässt (z.B. 100N)


Wenn überhaupt, dann ist F0 die Kraft, die der Elektromotor auf das Gewicht ausübt. Wird das Gewicht während des Aufpralls nicht angetrieben, dann ist F0 gleich Null.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

- Wie ich die "Federkonstante" des Gummis bestimmen könnte, weiss ich, doch wie könnte ich z.B. den Reibungskoeffizient bestimmen?


Über die Energieerhaltung. Ohne Reibung hätte die Geschwindigkeit des Gewichtes vor und nach dem Abprallen vom Gummistopper den gleichen Betrag. Mit Reibung ist die kinetische Energie danach geringer. Wenn Du die Geschwindigkeiten messen kannst, dann kannst Du aus dem Energieverlust auf die Reibung schließen. Bei verschiedenen Reibungsarten brauchst Du dazu allerdings mehrere Versuche mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Massen.

Wenn es keine analytische Lösung der DGL gibt, dann würde ich die Reibungskoeffizienten durch nichtlineare Optimierung bestimmen. Dabei werden die gesuchten Parameter schrittweise so angepasst, dass die numerische Lösung der DGL möglichst gut mit den Messwerten übereinstimmt. Ich kenne Matlab zwar nicht, aber ich würde mich wundern, wenn es da keine entsprechenden Werkzeuge gäbe (z.B. Gradientenverfahren, Newton-Verfahren oder Levenberg-Marquardt-Algorithmus).
füsigstudy
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Anmeldungsdatum: 19.03.2009
Beiträge: 51
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BeitragVerfasst am: 24 Okt 2011 - 21:04:56    Titel:

Hi DrStupid,

sry für die späte Antwort.
Wieder vielen Dank für deine Antwort!

Danke zu deinen Ausführungen bzgl. der Masse m, der Kraft F0 und der möglichen Ermittlung des Reibungskoeffizienten.
Die Masse des Gummistoppers vernachlässige ich, wie du sagst. F0: Kraft, die der E-Motor auf die Masse ausübt, klar soweit.
Wenn man es hört, dann ist es irgendwie klar und man muss sich erstmal peinlich berührt an den Kopf fassen. Embarassed
Nur ich hatte mir das anfangs ein wenig anders gedacht:
Ich betrachte das System Gummistopper als ein eigenes und die Kollision mit der Masse repräsentiere ich dann durch
eine mit der Kraft/ dem Kraftimpuls F0 angeregten (gedämpften) Schwingung.

Ich hätte noch eine allg. Nachfrage, um auch letzte Zweifel zu beseitigen:
Wie du schon sagtest, steckt in meiner DGL der Term für viskose Dämpfung. Doch eigentlich ist das nicht sinnvoll, da in meiner oben beschrieben Aufgabenstellung keine viskose Dämpfung vorkommt.
Ich war mehr oder weniger auf der Suche nach einer geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung/ Reibung,
die man wohl besser mit |Fr|=k*(dx/dt) (Fr: Reibungskraft, k: Reibungskoeff.) beschreiben sollte und die mich weg von einer harmonischen Schwingung bringt.
Wie ist das nun, macht dann ein solcher Ausdruck für visk. Dämpfung in "meiner" DGL überhaupt Sinn oder könnte ich das auf einen vereinfacht angenommenen Fall der Gleitreibung reduzieren?
Fr,g=k*Fn (mit Fr,g: Gleitreibungskraft, k: Reibungskoeff., Fn: Normalkraft), was mir eine konstante Reibungskraft liefern würde.
Aber die mathematische Beschreibung einer gedämpften Schwingung lautet ja nun mal m*(d²x/dt²)+q*(dx/dt)+k*x=0,
also sollte doch meine DGL stimmen, oder?

Gruß
Chris
DrStupid
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Anmeldungsdatum: 11.07.2009
Beiträge: 321

BeitragVerfasst am: 25 Okt 2011 - 18:10:41    Titel:

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

Wie ist das nun, macht dann ein solcher Ausdruck für visk. Dämpfung in "meiner" DGL überhaupt Sinn oder könnte ich das auf einen vereinfacht angenommenen Fall der Gleitreibung reduzieren?


Ich fürchte, das kann man so pauschal nicht sagen. Hier werden beispielsweise gleich drei Arten der Reibung berücksichtig:

http://www.home.hs-karlsruhe.de/~kero0001/fedmass/FedMassSchwing.pdf

Ich würde empfehlen, für den Anfang mit einer einfach lösbaren DGL zu beginnen. Wenn die geeignet ist, Deine experimentellen Beobachtungen zu beschreiben und korrekte Vorhersagen zu liefern, kannst Du dabei bleiben, weil eine kompliziertere Gleichung dann keinen zusätzlichen nutzen liefert. Wenn das Modell die Realität nicht korrekt beschreiben kann, musst Du es erweitern.

füsigstudy hat folgendes geschrieben:

Fr,g=k*Fn (mit Fr,g: Gleitreibungskraft, k: Reibungskoeff., Fn: Normalkraft), was mir eine konstante Reibungskraft liefern würde.
Aber die mathematische Beschreibung einer gedämpften Schwingung lautet ja nun mal m*(d²x/dt²)+q*(dx/dt)+k*x=0,
also sollte doch meine DGL stimmen, oder?


Da Du ein konkretes reales System beschreiben willst, ist es ziemlich egal, wie die DGL für irgend einen theoretischen Spezialfall aussieht. Das würde eine Rolle spielen, wenn Du genau wüsstest, dass Du es mit einer gedämpften Schwingung zu tun hat. Aber bevor Du Deine ersten Messwerte ausgewertet hast, weißt Du so ziemlich gar nichts über das Veralten Deines Systems. Du kannst Dir deshalb aussuchen, welche der vielen denkbaren Hypothese Du zuerst prüfen willst. Wenn Du die Gleichung für eine gedämpfte Schwingung nutzen willst, dann nimm sie halt. Wenn nicht, dann nimm eine andere.

Da ich nicht weiß, welche Messdaten Dir zur Verfügung stehen werden, noch ein Hinweis zur Interpretation der Ergebnisse:

Wenn Du Dein Modell an real gemessene Beschleunigungswerte anpassen kannst, gibt es keine Probleme. Willst Du die Beschleunigungen dagegen nur aus dem Modell ableiten, dann musst Du unbedingt verschiedene Modelle testen und die Werte vergleichen. Wenn verschiedene Modelle vergleichbare Ergebnisse liefern, ist ebenfalls alles in Ordnung. Erhältst Du jedoch mit unterschiedlichen Modellen, die die Messdaten jeweils korrekt beschreiben, unterschiedliche Werte, dann steckst du in Schwierigkeiten.
füsigstudy
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Anmeldungsdatum: 19.03.2009
Beiträge: 51
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BeitragVerfasst am: 26 Okt 2011 - 09:22:39    Titel:

Danke!

Da hast du völlig Recht, ich kann im Grunde erstmal mit der von mir oben beschriebenen DGL simulieren, erst die Messung wird zeigen, ob die Simulation dem realen Verlauf der Beschleunigung entspricht.
Stellt sich die Simulation dann als ausreichend genau dar, ist das Thema erledigt. Tut sie das nicht, so ist über eine Erweiterung der DGL, die der Simulation zugrunde liegt, nachzudenken.
Messen werde ich übrigens so oder so müssen, da ich die Simulation verifizieren muss.

Verfüge ich später einmal über die Messwerte, werde ich berichten ob dieser Ansatz bzw. diese DGL für eine realitätsnahe Simulation dieser Problemstellung geeignet ist. Das ist dann vll. auch für Kollegen nützlich, die mit ähnlichen Aufgabenstellungen konfrontiert werden.

Nochmals danke DrStupid, du warst mir eine große Hilfe.

Schöne Grüße
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