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Polynomdivision!
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chibi pan
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
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BeitragVerfasst am: 27 Jun 2005 - 15:38:29    Titel:

Hi!
Geht das nicht ohne diese Canadische Formel (oder so?)?
Das hatten wir nämlich noch nicht!

Ich frage nur, weil wir am Donnerstag so einen blöden Nullstellentest machen und ich nicht weiß, wie man die erste Nulstelle rauskriegt!

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
die Du eigentlich gar nicht verwenden solltest

Die Aufgabe stand so im Buch!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 27 Jun 2005 - 18:31:48    Titel:

Cardanische Formeln sind ein ein schönes Werkzeug, wenn es darum geht Polynomgleichungen mit über Q irreduziblen Polynomen (z.B. mit lauter irrationalen oder komplexen Nullstellen) zu lösen. Wenn man Polynomdivision machen will, ist der Weg zu aufwendig, denn entweder enthält ein Polynom Nullstellen in Q und ist somit reduzibel über Q (und dann geht obiges Verfahren) oder es enthält keine und man hat mit Polynomdivision so keine Chance.

Mein erster Beitrag (der auch eigentlich der letzte sein sollte) beschreibt, wie es geht. Löse Dich von Brüchen, Suche die Teiler und prüfe ob der Bruch so gebildet, wie oben eine NS ist.

-4,6x³ + 1,75x² - 15,2x + 5,9 = 0 <=>
-460/100 x^3 +175/100x^2-1520/100x+590/100 = 0 <=>
-460x^3+175x^2-1520x+590 = 0 <=>
-92x^3 + 35x^2-304x+118 = 0

Nun ist es alle Teiler von 118 und 92 als Bruchkombinationen zu prüfen. Z.B. 118/92,-118/92,... Keine der Kombinationen, die ich probiert habe tut es. Ich habe nur paar probiert, die nahe an der NS lagen. Dein Polynom wird nur eine irrationale reelle Nullstelle haben. Bist Du sicher, daß Du es richtig abgeschrieben hast?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 27 Jun 2005 - 22:25:06    Titel:

Falls ich das nicht klar geschrieben habe: bei diesem Polynom ist eine Polynomdivision zur Nullstellenfindung über Q nicht möglich, da das Polynom irreduzibel über Q ist.

Ich mache Dir mal ein Beispiel wo es geht:

f(x) = (x-1)(2*x+1)(x-3) = 2x^3 - 7x^2 + 2x + 3

Die Nullstellen sind also -1/2, 3 und 1.

Teiler der 3 sind : 3 1 -1 und -3
Teiler von 2 sind : 2 1 -1 und -2

Somit sind alle möglichen Kombinationen davon:

3,1,-1,-3,2,1,-1,-2,3/2,-3/2,1/2,-1/2

Und man sieht, es sind alle rationalen Nullstellen dabei. Wenn man das schnell machen möchte, so sollte man sich zunächst klarmachen, wo die Nullstellen liegen. Das geht, indem man von den obigen Kombinationen möglichst weit auseinanderliegende ausprobiert. Meistens gibt das schon einen Tipp, wo die Nullstelle liegen sollte.

Und wenn Du dezimalentwicklungen der Brüche hast, so solltest Du davon möglichst schnell weg!
chibi pan
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 495

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 18:29:41    Titel:

Ok, hier ein leichteres Beispiel!

f(x) = 1/2x³ + 3x² - 8

Da muss ich ja auf jeden Fall Polynomdivision anwenden, aber wie kriege ich da die erste Nullstelle raus, damit ich den Teiler bestimmen kann?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 19:29:18    Titel:

1/2x³ + 3x² - 8 = 0 <=> Alles mal 2
x^3 + 6x^2 - 16 = 0

Jetzt muß man aller Teiler von 16 duruchprobieren: -16 -8 - 4 -2 -1 1 2 4 8 16. Durch Probieren ergibt sich für -2

f(-2) = 0.

Jetzt kannst Du deine Polynomdivision machen (am besten mit x^3 + 6x^2-16).
chibi pan
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
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BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 20:26:18    Titel:

Aber dann muss man das Ergebnis doch wieder mal 2 nehmen, oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 20:40:58    Titel:

Genau. Wenn Du mit "Ergebnis" die Linearfaktorzerlegung von f meinst, dann ja.
chibi pan
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Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 495

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 20:43:48    Titel:

Ich meine, wenn man die Polynomdivision durchgeführt hat!! Dann kommt ja wieder irgendeine Funktion heraus!

Muss ich im Teiler eigentlich dann (x + 2) oder (x - 2) rechnen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 20:51:01    Titel:

Nein. Das nicht. Unter Äquivalenzumformungen verändern sich die Nullstellen nicht. Dazu gehört auch die Multiplikation mit 2. Wenn Du vor hättest das Polynom als ein Produkt aus linearfaktoren darzustellen, dann schon. Z.B.

f(x) = 1/2(x-2)(x+1) = 1/2x^2 - 3/2 x + 1

Da würdest Du zuerst die Brüche wegmachen

1/2x^2-3/2x+2 = 0 <=> alles mal 2
x^2 - 3 x + 2 = 0

Die rationalen Nullstellen davon müssen also Teiler von 2 sein: -2 -1 1 oder 2. Man merkt 2 ist eine und -1 ist eine. Eine Linearfaktorzerkegung ist aber dadurch nicht gegeben, denn

f(x) ist nicht gleich (x-2)(x+1) = x^2 - 3x + 2

Da müßte man noch durch 2 alles Teilen. Also

f(x) = 1/2 (x-2)(x+1)

wie auch erwartet.

Wenn es um die Nullstellen geht, dann musst Du damit nichts mehr machen!

P.S: Ich habe oben was übersehen. Damit es oben richtig wäre hätte es alles durch 2 heißen müssen. Sry.
algebrafreak
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BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 20:55:58    Titel:

Dieser Thread ist die reinste Katastrophe. Nicht umsonst hat sich der gute @serpico aufgeregt. Naja, ich wollte es auch nicht. Ich schreibe jetzt immer die Aussage auf die ich antworte hin, damit es noch halbwegs klar bleibt Smile

Zitat:
Muss ich im Teiler eigentlich dann (x + 2) oder (x - 2) rechnen?


Wenn die Nullstelle a ist, dann (x-a). Z.b. wenn die Nullstelle -2 ist dann mit (x-(-2)) = (x + 2).
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