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Matheaufgabe !
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Reinaldo
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 34

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 13:16:27    Titel: Matheaufgabe !

Hi . Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen ?


a) Zeichne ein Viereck ABCD MIT A (0/5) ,B (5/0) , C (5/4) und D (4/5) und zeige ,dass es ein symmetrisches Trapez ist .

b) Berechne den Flächeninhalt des Trapezes , indem du zählst , wie oft das Einheitsquadrat in der Trapezfläche enthalten ist .

c) Berechne den Flächeninhalt mithilfe der Flächenformel für Trapeze .

d) Zeichne den Umkreis und gib seinen Mittelpunkt , Radius und Flächeninhalt an .

e) Wie viel Prozent der Kreisfläche überdeckt die Trapezfläche ?
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 13:58:06    Titel:

Zu Aufgabenteil a)

Das Zeichnen wird wohl gehen, denke ich.

Nun kannst Du mit einem Zirkel einmal in A einstechen (Radius sollte größer sein, als die Strecke AB) und so einen Kreis um A zeichnen.
Mit dem gleichen Radius sticht man jetzt in den Punkt B ein und zeichnet ebenfalls einen Kreis, diesmal um B herum.
Dort wo sich die beiden Kreise (der um A und der um B) schneiden, ergeben sich zwei neue Punkte,die wir P und Q nennen, die gleichweit von A und B weg sind.

Erneut den Zirkel zur Hand nehmen und in C einstechen (der Radius sollte größer als die Strecke CD sein). Wie bekannt Kreis um C zeichnen, Zirkel in Punkt D einstechen und Kreis mit gleichen Radius um D zeichnen, Wieder sind zwei neue Punkte entstanden, wo die Kreise sich schneiden. Die Punkte nennen wir V und W.

Wenn wir jetzt eine Gerade durch P,Q,V und W zeichnen können, sind offensichtlich alle Punkte, die Gleichweit von A und B entfernt sind auch gleichzeitig an der Stelle wo sich alle Punkte befinden, die von C und D gleichweit entfernt sind.
Es gibt also nur eine Gerade, auf der sich diese Punkte befinden, daher ist die Figur an dieser Geraden spiegelbar und ist daher symmetrisch.

Es liegt nahe, daß es sich um die 1. Winkelhalbierende als Spiegelachse handelt.

Der Punkt A und der Punkt B sind gleichweit vom Punkt Z(2,5/2,5) entfernt.

Denn von A (0/5) aus muß man erst 2,5 nach rechts und dann 2,5 nach unten gehen.
Und von B (5,0) aus muß man erst 2,5 nach links und dann 2,5 nach oben gehen.

Wegen Satz des Pythagoras ist leicht ersichtlich, daß die Strecke von A zu Z gleichweit wie von B zu Z ist.

Ebenso verfährt man mit den Punkten C (5/4) und D (4/5)
, die gleich weit von U(4,5/4,5) entfernt sind.

Z (2,5/2,5) und U(4,5/4,5) gehören nachweislich zur ersten Winkelhalbierenden, deren Punkte ja der Form (a / a) sind.
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 14:03:26    Titel:

und hier.. das es ein Trapez ist..

Ein Trapez ist ein Viereck mit zwei parallelen Seiten

Die Seiten AB und CD sind parallel und viereckig ist es auch.
Da die Punkte A und D wie eben gezeigt auf C und B and der ersten Winkelhalbierenden gespiegelt werden können, befinden sich die Seiten AB und DC in beiden Fällen im rechten Winkel zur Symmetrieachse und sind daher auch parallel.
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 14:04:38    Titel:

b) solltest Du schaffen, wenn Du es gezeichnet hast
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 14:24:47    Titel:

Die Flächeninhaltsformel für Trapeze ist wohl:

F= 0,5*(a+c)*h

F= Flächeninhalt
a =eine der parallelen Seite
C ist die andere paralele Seite
und h ist die Höhe

in diesem Fall lassen sich die Längen mit Pythagoras berechnen

a=AB= Wurzel aus 25+25= Wurzel aus 50=5*wurzel aus 2
c=DC=Wurzel aus 1+1 = Wurzel aus 2

a+c = 5*Wurzel aus 2 + Wurzel aus 2

h= die Streckenlänge von (2,5/2,5) zu (4,5/4,5)

also ist h= Wurzel aus 4+4 = wurzel aus 8= 2*wurzel 2

F= 0,5*(a+c)*h

also
F= 0,5*(5*wurzel2 + wurzel 2)*2*wurzel 2

=0,5*(20+4)=12

und ich hoffe Du hast eben auch 12Flächeneinheiten gezählt
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 14:55:00    Titel:

Für den Umkreismittelpunkt brauchst Du einen Punkt, der zu allen 4 Trapezpunkten den gleichen Abstand hat.
Es genügt wegen der Symmetrie, wenn Du den Punkt findest, der sowohl von A als auch von D den gleichen Abstand hat.
Der Punkt muß sich auf der ersten Winkelhalbierenden befinden, da sich dort ja die Punkte befinden, die gleichweit von A und B liegen.
Alle Punkte, die gleichweit von A und D entfernt sind, befinden sich auf der Geraden, die im rechten Winkel zu AD steht und durch den Mittelpunkt von AD geht.
Die Gerade (2/a) enthält alle diese Punkte und schneidet die erste Winkelhalbierende in (2/2).
Also ist der Umkreismittelpunkt in (2/2)
allesistzahl
Gesperrter User
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 15:01:25    Titel:

Der radius wäre dann die Strecke von (2/2) zu einem der Punkte A,B,C oder D.
also wurzel aus (2^2+3^3)=wurzel aus 13

die Formel für Kreisfläche ist..

pi*r^2, also pi*13 also etwa 3,1*13=40,3
allesistzahl
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Anmeldungsdatum: 28.06.2005
Beiträge: 57

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2005 - 15:05:22    Titel:

d) habe es nicht gezeichnet, aber es scheint mir, als wäre die Kreisfläche vollständig über dem Trapez, wie es sich für einen braven Umkreis so gehört.

Umkreis hatte Fläche von Knapp 40,3
Trapez hat Fläche von 12
also ist dann der Umkreis knapp 336 % vom Trapez selber


und fertig..
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