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Differentialgleichung lösen
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Caoscrischen
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Anmeldungsdatum: 24.05.2009
Beiträge: 172

BeitragVerfasst am: 20 Feb 2012 - 21:25:48    Titel: Differentialgleichung lösen

Hallo!
Folgendes ist die Situation:
"[...]. Die Wärmemenge im Kupferblock Cu1 ändert sich unter Berücksichtigung der Wärmeverluste gemäß Gl. (4.4) und (4.8 ) als:
[;c_1\cdot m_1\cdot\frac{d(\Delta T)}{dt}+\frac{\Delta T}{R_{is}}=P;]
Die Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung [;\Delta T(0)=0;], ist
[;\Delta T=P\cdot R_{is}\lbrack 1-\exp\left -\frac{t}{c_1\cdot m_1 \cdot R_{is}}\right\rbrack;]"
Nun sitz ich hier und habe keine Ahnung. Kann mir da jemand weiterhelfen?
bassiks
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Anmeldungsdatum: 31.07.2007
Beiträge: 612

BeitragVerfasst am: 21 Feb 2012 - 06:48:28    Titel:

Du musst erst die homogene Gleichung lösen, also das P weglassen und die DGL lösen. Dabei kommst du auf sowas wie c*exp(...).

Dann Variation der Konstanten (also c wird als von t abhängig angenommen, und das ganze in die nun vollständige (mit P) DGL eingesetzt und nach c' aufgelöst. Damit kannst du dann c ausrechnen. (Vergiss nicht die Integrationskonstante). Das sieht dann so aus:

[;
\frac{1}{\Delta T}\frac{d(\Delta T)}{dt}=-\frac{1}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}
\Rightarrow\Delta T=c\cdot e^{-\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}}
;]

[;\Rightarrow \frac{d(\Delta T)}{dt}=-\frac{c}{c_1\cdot \m_1\cdot R_{is}}e^{-\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}}+c'\cdote^{-\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}};]

Einsetzen in DGL liefert c', welches integriert folgendes ergibt: (alles mit c kürzt sich weg! d ist die Integrationskonstante!)

[;
c(t)=P\cdot R_{is}\cdot e^{\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}}+d
;]

Einsetzen in die Lösung:

[;
\Delta T=\left ( P\cdot R_{is}\cdot e^{\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}}+d \right )\cdot e^{-\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}}
;]

Nun noch T(0)=0 verwenden um d zu bestimmen und umformen auf deine Lösung...

[;
\Delta T(0)=0=P\cdot R_{is}+d\Rightarrow d=-P\cdot R_{is}
;]

und einsetzen...

[;
\Rightarrow \Delta T(t)=P\cdot R_{is}\left (1-e^{-\frac{t}{c_1\cdot m_1\cdot R_{is}}} \right )
;]

mfg,
bassiks


Zuletzt bearbeitet von bassiks am 21 Feb 2012 - 14:26:31, insgesamt einmal bearbeitet
Caoscrischen
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Anmeldungsdatum: 24.05.2009
Beiträge: 172

BeitragVerfasst am: 21 Feb 2012 - 09:59:02    Titel:

Wow, da hat sich einer aber Mühe gegeben Very Happy . Super Danke!
Werde hoffentlich in den nächsten Tagen bzw. am Wochenende dazu kommen es nachzuvollziehen.
In der letzten Zeile muss es aber statt dem R ein P sein, so als kleine Korrektur Wink .
bassiks
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Anmeldungsdatum: 31.07.2007
Beiträge: 612

BeitragVerfasst am: 21 Feb 2012 - 14:25:59    Titel:

Danke ich werds ausbessern Very Happy
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