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Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"
 
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Sommer22
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 08:21:40    Titel: Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"

Hallo,...

Kann mir jemand diese Aufgabe korrigieren.

Aufgabe: Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in W ( 4/2) einen Wendepunkt. Die Wendetangente läuft parallel zu der Geraden mit der Gleichnung g (x) = -3/2x +1.
Bestimmen sie die Gleichung dieser Parabel.

Meine vorgehensweise:
Punkt 1:
Allgemein gilt: f (x) = ax^3 + bx ^2 + cx +d
Funktion 3. Grades geht durch den ursprung. D.h. Funktion f ist punktsymmetrisch und daher nur ungerade exponenten.
Hier: f (x) = ax ^3 + cx

Punkt 2:
W ( 4/2)
Es gilt: f ' ( x) = 3ax ^2 +c , f '' ( x) = 6 ax,
F'' ( x) = 0,
Einsetzen: f '' (4) = 0; a = 24

Und wie mache ich dann weiter ????

Danke


Es sind soviele bedingungen, die man sich merker muss. gibt es da evtl. eine regelung, oder eine übersichtstabelle ????
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 09:50:31    Titel:

Hallo,

dein wendepunkt liegt bei W(4/2) => f(4) = 2

Damit solltest du den letzten Parameter bestimmen können.

Zitat:
Es sind soviele bedingungen, die man sich merker muss. gibt es da evtl. eine regelung, oder eine übersichtstabelle ????


Dafür hilft nur Aufschreiben aller Bedingungen, die aus den Angaben folgen wie z.B.

- Punktsymmetrie
- f(4) = 2
- f''(4) = 0
etc.

Normalerweise gibt es dann auch genausoviele Bedingungen wie Parameter gesucht werden.

Du findest im Forum auch viele Beispiele von schon gestellten Aufgaben.

Gruß
Dirk
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 10:53:38    Titel: Re: Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"

Funktion 3. Grades geht durch den ursprung. D.h. Funktion f ist punktsymmetrisch und daher nur ungerade exponenten.
Hier: f (x) = ax ^3 + cx

Wie kommst du darauf????
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 10:56:18    Titel:

Schreib erst mal alle Bedingungen für die Funktion auf, die du brauchst.
da du vier unbekannte hast brauchst du vier stück.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 11:08:34    Titel: Re: Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"

sambalmueslie hat folgendes geschrieben:
Funktion 3. Grades geht durch den ursprung. D.h. Funktion f ist punktsymmetrisch und daher nur ungerade exponenten.
Hier: f (x) = ax ^3 + cx

Wie kommst du darauf????



Dort muss nur das absolute Gleid weg.

f(x)=ax³+bx²+cx
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 11:47:17    Titel: Re: Aufstellung von Funktionsgleichungen " SOS"

Gauss hat folgendes geschrieben:
sambalmueslie hat folgendes geschrieben:
Funktion 3. Grades geht durch den ursprung. D.h. Funktion f ist punktsymmetrisch und daher nur ungerade exponenten.
Hier: f (x) = ax ^3 + cx

Wie kommst du darauf????



Dort muss nur das absolute Gleid weg.

f(x)=ax³+bx²+cx

Psst, nicht alles verraten
Sommer22
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 14:19:25    Titel:

jetzt bringt ihr mich ganz durcheinander. wie jetzt,...
f (x) = -f ( -x)
wenn, dann müsst ihr mir genauer erklären.
also, in der schule haben wir so gelernt, dass bei punktsy. gerade expon. ausgeschlossen sind.

zu aufgabe 1:
hat jemand die aufgabe berechnet und auf welches ergebnis kommt ihr. danke im voraus. ihr seid wirklich echt nett.
sambalmueslie
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Anmeldungsdatum: 18.03.2005
Beiträge: 555

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 15:00:11    Titel:

Das was ihr gelernt habt, das stimmt schon, aber wo steht denn in der Aufgabe was von Punktsymmetrie zum Ursprung????

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f'''(x) = 6a

P(0|0) -> f(0) = 0 also d = 0
W ( 4/2) -> f(4) = 2 = 64a + 16b + 4c

Wendetangente paralell zu g(x) also Steigung gleich:
f'(4) = -3/2 = 48a + 8b + c

Wendepunkt:
f''(4) = 0 = 24a + 2b


Gleichungen:
1 = 32a + 8b + 2c
-3/2 = 48a + 8b + c -> 3 = -48a - 8b - c
0 = 24a + 2b

aus I und II folgt:
5/2 = -16a + c
c = 5/2 + 16a

eingesetzt:
1 = 32a + 8b + 5 + 32a = 64a + 8b + 5
-1 = 16a + 2b
1 = -16a - 2b
addiert mit 0 = 24a + 2b
1 = 8a
a = 1/8

b = - 12a = -12/8 = -3/2

c = 5/2 + 16/a = 5/2 + 16/8 = 9/2

f(x) = 1/8x^3 - 3/2 x^2 + 4,5 x
the-o
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 29 Jun 2005 - 16:03:48    Titel: Lösung der Aufgabe

f(x)=ax³+bx²+cx+d
f`(x)=3ax²+2bx+c
f``(x)=6ax+2b

Bedingungen:

(1) f(4)=2 => 64a + 16b +4c +d = 2
(2) f`(4)=-3/2 => 48a + 8b + c = -3/2
(3) f``(4)=0 => 24a + 2b = 0
(4) f(0)=0 => d = 0

aus (4) geht hervor, dass d = 0 ist

jetzt hat man noch 3 Unbekannte

am besten erstellst du eine matrix:

(a) (b) (c)
(1) 64 16 4 | 2
(2) 48 8 1 |-3/2
(3) 24 2 0 |0
1 1/4 1/16 | 1/32 | (1) / 64
48 8 4 |-3/2
24 2 0 |0
1 1/4 1/16 | 1/32 | (1)/64
48 8 1 | -3/2
24 2 0 | 0
1 1/4 1/16 | 1/32
0 -4 -2 | -3 | (2)-48*(1)
0 -4 -3/2 | - 3/4 |
1 1/4 1/16| 1/32
0 1 1/2 | 3/4 | (2) /(-4)
0 -4 -3/2 | -3/4
1 1/4 1/16| 1/32
0 1 1/2 | 3/4
0 0 1/2 | 9/4 |(3) +4*(2)
1 1/4 1/16| 1/32
0 1 1/2 | 3/4
0 0 1 | 9/2 | (3) / (1/2)

aus (3) folgt: c = 9/2
aus (2) folgt: b + 9/4 = 3/4 |-9/4
b = -3/2
aus (1) folgt: a -3/8 + 9/32 = 1/32
a - 3/32 = 1/32 | + 3/32
a = 1/8

einsetzen von a,b,c,d in die allgemein geltende gleichung

f(x)= 1/8x³-3/2x²+9/2x

Damit haben wir das Gleichungssystem gelöst!

Ich hoffe, dass sich kein Rechenfehler eingeschlichen hat!
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