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Frage zur Äquivalenzrelation...
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pajb
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 30 Jun 2005 - 16:00:27    Titel: Frage zur Äquivalenzrelation...

hallo,
kann mir jemand folgende frage(n) beantworten:

Ist in der Menge aller geometrischen Figuren der Ebene durch die Relation:"...ist ähnlich zu..." eine Äquivalenzrelation gegeben ?

Ist in der Menge aller geometrischen Figuren der Ebene durch die Relation:"...ist kongruent zu..." eine Äquivalenzrelation gegeben ?

ich weiß, das eine Ä.R. die Eigenschaften der Symmetrie, Reflexivität und Tranmsitiviät erfüllen muss, aber ich check irgendwie die fragestellung nicht so richtig, bzw, worauf will man hier hinaus? kann mir jemand weiterhelfen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Jun 2005 - 20:26:29    Titel:

Was heißt denn nochmal "ähnlich" und "kongruent" im Bezug auf geometrische Figuren?
pajb
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 01 Jul 2005 - 18:11:05    Titel:

2 figuren heissen ähnlich, wenn sie durch eine zetrische Streckung, Kongruenzabbildung oder Verkettung von zentr. Streck & Kongruenzabb auf einander abgebildet werden können.

eine oder mehrere figuren, die durch Hintereinanderausführung von Achsenspiegelungen aufeinander abgebildet werden können, heissen kongruent.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Jul 2005 - 19:00:17    Titel:

So, wie ich das verstanden habe, ist "ähnlich" keine Äquivalenzumformung. Beweis: Ein Dreieck läßt sich durch zentrische Streckung in einen Punkt überführen. Ein Punkt läßt sich allerdings nicht durch zentrische Streckung in ein Dreieck überführen, denn die entsprechende Abbildung ist kein Homöomorphismus ("Anzahl der Löcher erhaltend"). Somit ist Symmetrie verletzt: (Dreieck, Punkt) ist in Relation und (Punkt, Dreieck) nicht (oder umgekehrt, je nach dem wie rum man die Relation definiert).

Das zweite ist eine Äquivalenzrelation, denn eine Achsenspiegelung ist eine umkehrbare Abbildung, die die Eigenschaften der geometrischen Figuren erhält (Homöo.). D.h.

i) Reflexiv: (Figur,Figur) ist stets in Relation denn, man benötigt gar keine Spiegelung um es hinzubekommen
ii) Transitiv: (Figur1,Figur2) und (Figur2,Figur3) seien in Relation. Dann läßt sich Figur 1 durch Achsenspiegelungen in Figur 2 umformen und Figur 2 in Figur 3. Also läßt sich Figur 1 in Figur 3 umformen. Daher ist (Figur1, Figur3) in Relation.
iii) Symmetrisch: (Figur1,Figur2) ist in Relation heißt, daß Figur1 läßt sich in Figur 2 überführen. Da nach obigen Überlegungen die Umformungen alle umkehrbar sind läßt sich auch Figur 2 in Figur 1 überführen. Also ist (Figur2 ,Figur1) in Relation.

Wir können gerne über die Beweise reden.
pajb
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 20

BeitragVerfasst am: 01 Jul 2005 - 20:20:18    Titel:

danke erstmal für die tolle erklärung! punkt zwei leuchtet mir ein! aber dass ein dreieck durch eine zentrische streckung in einen punkt überführt werden kann, daran hab ich gar nicht gedacht.wie geht das denn?welcher streckungsfaktor?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 01 Jul 2005 - 20:27:57    Titel:

Streckungsfaktor 0
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