Integralrechnung

KIDD · Newbie Anmeldungsdatum: 03.01.2011 Beiträge: 1

Hallo zusammen!
Ich sitze hier seit 2 Tagen an einem doch kniffligem Integral, was ich einfach nicht lösen kann. Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen!

Das Integral lautet:

∫(7x²-19x+30)/(x³-6x^2+10x) dx

Die Lösung davon wäre:

3*ln(x) + 2*ln(x²-6x+10) + 11*arctan(x-3) + C

Leider komme ich einfach nicht auf diese verdammte Lösung!

Das naheliegendste wäre ja die Partialbruchzerlegung zur Lösung des Integrals zu benutzen. Leider bringt der Nenner keine vernünftige Nullstelle mit sich außer für x=0.
Integralsubstitution wäre eine Möglichkeit, die ich schon probiert habe, aber davon wird mein Integral nur noch komplizierter.
Die partielle Integration schließe ich von vorne herein aus, da diese das Integral ebenfalls nur deutlich komplizierter macht.
Das einzige, was mir noch eingefallen ist, dass ich den Nenner durch quadratische Ergänzung zu x*[(x-3)²+1] schreiben kann. Aber damit kann ich leider auch nicht wirklich etwas anfangen.

Eine Kombination aus verschiedenen Integrationsmethoden habe ich auch schon versucht, aber leider kam auch nichts Vernünftiges dabei heraus.
Was mich ebenfalls verwirrt ist, dass der arctan in der Lösung vorkommt.

Ich verlange keine vollständige Lösung von euch!
Ich hoffe nur, dass ihr mir einen Hinweis geben könnt, womit ich dieses verdammte Integral lösen kann!

Ich danke euch schon einmal im Vorraus! Very Happy

LG KIDD

Cheater! · Verfasst am: 01 Jun 2012 - 18:29:29 Titel:

Das ist eine gebrochenrationale Funktion. Diese integriert man immer gleich:

- Per Partialbruchzerlegung in elementare Brüche umformen.

- Die elementaren Brüche integrieren.

Du wirst einen Bruch der Form

x / (a*x^2 + b*x + c)

erhalten.

Einen solchen Bruch integrierst du folgendermaßen:

INT[x / (a*x^2 + b*x + c)] = 1/(2a) * INT[ 2*a*x / (a*x^2 + b*x + c)]

INT[ 2*a*x / (a*x^2 + b*x + c)] = INT[ {2*a*x + b - b} / (a*x^2 + b*x + c)] = INT[ {2*a*x + b} / (a*x^2 + b*x + c)] - INT[ b / (a*x^2 + b*x + c)]

Nun darfst du wieder. Smile