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Transfortmation einer Nutzenfunktion gleiche Präferenz?
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Foren-Übersicht -> VWL/BWL-Forum -> Transfortmation einer Nutzenfunktion gleiche Präferenz?
 
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Knapperkeks
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Anmeldungsdatum: 03.06.2012
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 18:05:03    Titel: Transfortmation einer Nutzenfunktion gleiche Präferenz?

Hallo!

Ich verstehe nicht, wie ich zwei Nutzenfunktionen auf die gleiche Präferenz testen kann...

z.B. folgende Nutzenfunktion:
u(x1,x2)= 4x1+x2
v(x1,x2)= (4x1+x2)^2

Kann mir jemand dies erklären???

Vielen Dank
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 18:10:31    Titel:

Wenn Du sie als Transformation voneinander darstellen kannst, in diesem Fall ist v das Quadrat von u bzw. u die Wurzel aus v.
Prüfen kannst Du das indem Du die Grenzraten der Substitution miteinander vergleichst. Sie sind dann identisch.
Für u ist die GRS einfach 4/1 = 4
Für v (Kettenregel, "innere mal äußere Ableitung")
[ 4 * 2 * (4x1 +x2)^1 ] / [ 1* 2 * (4x1 + x2)^1] = 4
=> Repräsentieren die selben Präferenzen.
ConsultingDetective
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Anmeldungsdatum: 04.09.2011
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 18:19:18    Titel:

Eine andere Möglichkeit des Testens ist es, zwei Güterbündel (z.B. (1,2) und (2,1)) in jede der Funktionen einzusetzen und zu schauen, ob sich die Funktionen hinsichtlich der PO gleich verhalten.
Knapperkeks
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Anmeldungsdatum: 03.06.2012
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 18:42:26    Titel:

Das hört sich plausibel an...

Ich habe mal ein paar Beispiele gerechnet. Hoffe, dass ich richtig abgeleitet und gerechnet habe...

u(x1,x2)= 4x1+x2
v(x1,x2)= ln(4x1+x2)

Nach x1 abgeleitet: 4/4x1+x2
Nach x2 abgeleitet: 1/4x1+x2

=> GRS=4, d.h. die selbe Präferenz


u(x1,x2) bleibt
v(x1,x2)=4x1^2+x2^2

abgeleitet nach x1: 8x1+x2^2
abgeleitet nach x2: 4x1^2+2x2

nicht die selbe Präferenz, da GRS=x2/2x1+2
LoLzeBoB
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Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1317
Wohnort: Germany

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 19:15:33    Titel:

ConsultingDetective hat folgendes geschrieben:
Eine andere Möglichkeit des Testens ist es, zwei Güterbündel (z.B. (1,2) und (2,1)) in jede der Funktionen einzusetzen und zu schauen, ob sich die Funktionen hinsichtlich der PO gleich verhalten.


Kann man machen, ist aber mathematisch nicht besonders einwandfrei bzw. man kann Funktionen haben, die für zwei Güterbündel dieselben Präferenzen aufweisen, aber nicht für die gesamte Menge aller möglichen Güterbündel.
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 21:01:57    Titel:

Zu dem was LolZeBob geschrieben hat: Ja, richtig!

Zu Knapperkeks:
Ja, auch richtig. Entweder Du zeigst, dass die GRS identisch sind oder sich die beiden Funktionen als lineare Transformation voneinander darstellen lassen.
In Deinen Beispielen also:
ln(u) = v
bzw.
u = exp(v) (da der natürliche Logarithmus und die Exponentialfunktion invers zueinander sind)
Im zweiten Beispiel findest Du einen derartigen Vorfaktor oder eine passende Funktion eben nicht.
ConsultingDetective
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Anmeldungsdatum: 04.09.2011
Beiträge: 151

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 21:11:03    Titel:

Wie kann man dann Funktionen auf Präferenzordnungen hin überprüfen, die keine Transformationen voneinander sind?
Knapperkeks
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Anmeldungsdatum: 03.06.2012
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 21:43:43    Titel:

Vielen Dank für die schnelle Hilfe, allerdings muss ich noch einmal um Hilfe bitten...

bei diesen beiden Beispielen fällt mir die partielle Ableitung nicht ein:

1. Bsp.: v(x1,x2)=ln(4x1)+ln(x2)
2. Bsp.: v(x1,x2)=ln((4x1+x2)^2)


zu beispiel 1:

ableitung nach x1: (1/4x1)*4+ln(x2) Stimmt die???
ableitung nach x2: (1/x2)*1+ln(4x1) Stimmt die???
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 03 Jun 2012 - 23:16:00    Titel:

ConsultingDetective hat folgendes geschrieben:
Wie kann man dann Funktionen auf Präferenzordnungen hin überprüfen, die keine Transformationen voneinander sind?

Das was man als BWLer zu sehen bekommt an Transformationen wird wohl nur ln, exp, quadrieren (bzw. generell mit irgendeinem Exponenten versehen) und mit einem Vorfaktor multiplizieren versehen umfassen.
Aber ja, eine allgemeine Regel fällt mir auch nicht ein, außer man "sieht" es einfach.

@Knapperkeks:
Nein, die Ableitungsregeln für den ln sind wie die der Kettenregel "innere mal äußere" Ableitung.
v(x1,x2) = ln(4*x1) + ln(x2)
Wenn Du hier x1 ableitest, fällt der ln(x2) Term ohnehin weg, weil die Terme nicht multiplikativ verknüpft sind. D.h. Du betrachtest nur ln(4*x1).
Innere Ableitung: 4
Äußere Ableitung 1 / (4*x1)

Beim zweiten Beispiel solltest Du nicht zweimal die Kettenregel hintereinander anwenden, sondern Dir mal die Logarithmusgesetze angucken. Man kann den Term vereinfachen!
Knapperkeks
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Anmeldungsdatum: 03.06.2012
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 04 Jun 2012 - 21:06:07    Titel:

Ich würde in diesem Fall die Potenz vor den Logarithmus ziehen, sodass es heißt:

2*ln(4*x1+x2)

beim Ableiten bleibt dann aber der Faktor 2 nicht erhalten oder?
Sodass es für die Ableitung nach x1 heißen müsste:
innere ableitung = 4
äußere Ableitung = 1/(4*x1)

ich hoffe, ich habe es weigstens diesmal richtig oder kann ich den Term noch weiter vereinfachen?
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