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MacGyver1
Junior Member
Anmeldungsdatum: 24.05.2011
Beiträge: 70
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 Verfasst am: 15 Jun 2012 - 07:17:22 Titel: Polstellen |
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Hallo,
ich habe eine folgende Funktion gegeben:
f(x)=(x-3)³/(x-3)²
Wenn ich diese Funktion, ohne vorher zu kürzen, zeichne, müsste ich bei 3 eine Lücke lassen, obwohl die dreifache Nullstelle im Zähler die doppelte Nullstelle im Nenner "überwiegt", richtig?
Gruß
M. |
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Cheater!
Senior Member
Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4539
Wohnort: Stuttgart
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| Verfasst am: 15 Jun 2012 - 08:23:45 Titel: |
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| Exakt. Die Definitionsmenge enthält nicht x=3. Es ist eine stetig behebbare Definitionslücke. |
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Matthias20
Moderator
Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 11789
Wohnort: Hamburg
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| Verfasst am: 15 Jun 2012 - 10:20:33 Titel: Re: Polstellen |
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| MacGyver1 hat folgendes geschrieben: |
| ohne vorher zu kürzen, |
Kuerzen ist hier nicht moeglich.
Sollte dir eigentlich auch klar sein, wenn du mit f(x) eine gebr. rat. Funktion hast und nach dem "Kuerzen" nur noch eine Gerade uebrig waere. Da kann also etwas nicht stimmen.
Gruss,
Matthias
_________________
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mody
Junior Member
Anmeldungsdatum: 24.03.2005
Beiträge: 86
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| Verfasst am: 15 Jun 2012 - 14:00:38 Titel: Re: Polstellen |
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| Zitat: |
Kuerzen ist hier nicht moeglich.
Sollte dir eigentlich auch klar sein, wenn du mit f(x) eine gebr. rat. Funktion hast und nach dem "Kuerzen" nur noch eine Gerade uebrig waere. Da kann also etwas nicht stimmen. |
Mh dann irrt sie Wolfram alpha  http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+f%28x%29%3D%28x-3%29%C2%B3%2F%28x-3%29%C2%B2, oder einfach "plot f(x)=(x-3)³/(x-3)²" bei wolfram alpha einfügen.
Kürzen ist hier schon erlaubt, nur muss man untersuchen, ob die Defintionslücke stetig fortsetzbar ist und ja sie ist es.
Beweis:
lim x-> 3 (x-3)^3/(x-3)^2 = L'H lim x-> [3*(x-3)^2]/[2(x-3)] = L'H lim x-> 3 6(x-3)/2 = 0 .
mfg |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8736
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| Verfasst am: 15 Jun 2012 - 14:19:23 Titel: Re: Polstellen |
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f(x)=(x-3)³/(x-3)²
| Matthias20 hat folgendes geschrieben: |
Kuerzen ist hier nicht moeglich.
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Natürlich kannst hier fröhlich "kürzen" , solange x nicht gleich 3 ist
also:
f(x)=(x-3)³/(x-3)²
und
g(x)= x-3
stimmen für alle x aus R\{3} überein
und an der Stelle x=3 existiert der Grenzwert von f und ist gleich g(3)
dh: f könnte man, wenn man will, durch geeignete Definitionserweiterung
in x =3 hinein stetig fortsetzen ..
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MacGyver1
Junior Member
Anmeldungsdatum: 24.05.2011
Beiträge: 70
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| Verfasst am: 17 Jun 2012 - 16:29:08 Titel: |
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Erstmal danke für die zahlreichen Antworten! 
Also darf ich, wenn es sich um eine hebbare Polstelle handelt, bei der ein Grenzwert vorliegt, die entsprechenden Linearfaktoren gegeneinander wegkürzen und die Funktion ohne Definitionslücke zeichnen, richtig? |
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Nalien
Senior Member
Anmeldungsdatum: 21.05.2010
Beiträge: 608
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| Verfasst am: 17 Jun 2012 - 17:11:43 Titel: |
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Darfst du, ja.
Allerdings solltest du irgendwie vermerken, dass es sich um eine hebbare Polstelle handelt.
Ich hab es z.B. so gelernt, den besagten Punkt mit einem kleinen Kreis zu markieren. |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8736
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| Verfasst am: 17 Jun 2012 - 20:23:40 Titel: |
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| Nalien hat folgendes geschrieben: |
Darfst du, ja................ jein
Allerdings solltest du irgendwie vermerken, dass es sich um eine hebbare Polstelle handelt.
Ich hab es z.B. so gelernt, den besagten Punkt mit einem kleinen Kreis zu markieren.
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mit "Polstellen" bezeichnet man normalerweise Stellen x bei denen
lim(f(x))=+- oo ist.
.. also nichts "Hebbares"
im Beispiel hier ist bei x=3 eine Definitionslücke, die man "schliessen" könnte
(weil ein - endlicher - Grenzwert existiert)
Sprechweise: f hat eine "hebbare Unstetigkeit ( Lücke)" und könnte an der Stelle "stetig fortgesetzt" werden..
. |
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Nalien
Senior Member
Anmeldungsdatum: 21.05.2010
Beiträge: 608
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| Verfasst am: 17 Jun 2012 - 20:36:45 Titel: |
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| Du hast natuerlich recht, das ist mir so gar nicht aufgefallen da wir es in der Schule auch falsch gelernt hatten und in den Analysis Vorlesungen bis jetzt nichts der Art zeichnen und beschreiben brauchten. |
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MacGyver1
Junior Member
Anmeldungsdatum: 24.05.2011
Beiträge: 70
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 17:45:33 Titel: |
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Ok, danke, also: durchgängiges Zeichnen ist hier erlaubt, richtig?  |
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mathefan
Valued Contributor
Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8736
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 20:42:10 Titel: |
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| MacGyver1 hat folgendes geschrieben: |
| Ok, danke, also: durchgängiges Zeichnen ist hier erlaubt, richtig? |
............... NEIN .. (du fällst doch dabei in ein Loch .. und bist weg..)
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