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Gleichung auflösen
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bricklayer
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 19:26:46    Titel: Gleichung auflösen

schreibe gerade ne mathe hausarbeit und stecke leider fest...

es geht um umkehrfunktionen:

die Funktionsgleichung y = 4x - x² muss man so nach x auflösen, dass man nachdem man den "Variablentausch" vollzogen hat wieder ne anständige funktionsgleichung der umkehrfunktin bekommt.

wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte
xaggi
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Senior Member


Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 20:58:15    Titel:

Die Mitternachtsformel sollte dir eigentlich weiterhelfen.

Allerdings lässt sich die Funktion nicht eindeutig umkehren, da du für y<4 immer 2 und für y>4 keine Lösung für x bekommst.
Jedenfalls denke ich dass das so ist, kenne mich aber mit Umkehrfunktionen nicht so aus.
none
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 21:12:33    Titel: quadratisch ergänzen

eigentlich geht das am einfachsten mit der quadratischen ergänzung:

y=4x- x²
-y=x²-4x
-y=x²-4x (+4 -4)
-y=(x²-4x +4) -4
-y=(x-2)²-4
4-y=(x-2)²

und jetzt kommt das Problem,dass die Umkehrung eine Relation und keine Funktion ist:

I) sqr(4-y)=x-2 II) -sqr(4-y)=x-2
2+sqr(4-y) = x 2- sqr(4-y)=x

So das wärs. Viel Spaß beim diskutieren
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Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 21:15:16    Titel: Sorry

Sollte untern nicht so nahe stehen: sollte heißen:

I)

sqr(4-y)= x-2
2+sqr(4-y)=x

II)

-sqr(4-y)= x-2
2-sqr(4-y)=x
bricklayer
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 21:18:26    Titel:

also die umformung müsste stimmen...danke...

es is doch aber so, dass ich ja, nachdem ich die gleichung endgütig nach x aufgelöst habe nur noch die variablen tauschen muss und die funktionsgleichung der umkehrfunktion habe, oder?
bricklayer
Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 21:24:27    Titel:

ich steh grad total auf dem schlauch...kann mir noch jemand dei gleichnung nach x auflösen? wäre wirklich nett...
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Gast






BeitragVerfasst am: 25 Mai 2004 - 21:54:16    Titel:

Du hast ZWEI Umkehrfunktionen (wie gesagt es handelt sich um eine Relation)

Du musst jetzt nur noch x mit y vertauschen und das war die Umkehrfunkrion
Gast-neu
Gast






BeitragVerfasst am: 31 Mai 2004 - 16:29:50    Titel: Lösung

Hallo,
wie schon oben beschrieben:

y=4x- x²
-y=x²-4x
-y=x²-4x (+4 -4)
-y=(x²-4x +4) -4
-y=(x-2)²-4
4-y=(x-2)²

Vertauschen von x und y liefert:
4-x=(y-2)² (I)

Nun muß, um eine Umkehrfunktion zu erhalten, man diese Gleichung nach y auflösen. Und hier ist das Problem (*).

Dazu ein paar Worte:
Die Funktion f(x):=4x-x² hat den Scheitelpunkt S(2,4). Die Funktion ist definiert auf ganz IR, allerdings ist der Wertebereich der Funktion nur:
Wf(x)={y aus IR: y kleinergleich 4}.
D.h. die Funktion ist nur umkehrbar bzgl. des Wertebereiches.

Ein weiteres Problem ist, dass die Funktion nicht injektiv (eineindeutig) ist (denn es ist ja z.B. f(0)=f(4)).

D.h. um überhaupt eine vernünftige Lösung angeben zu können, können wir nicht f: IR -> IR betrachten, sondern müssen Einschränkungen vornehmen.

Vernünftige (und maximale) Einschränkungen lassen sich mit (*) (bzw. mit dem Scheitelpunkt S) und dem angegebenen Wertebereich angeben.

1. Fall:
Wir betrachten
f1: {r aus IR: r kleinergleich 2} -> {s aus IR: s kleinergleich 4} definiert durch
f1(x):=4x- x²

Die Umkehrfunktion f1^(-1) ist dann:
f1^(-1): {s aus IR: s kleinergleich 4} -> {r aus IR: r kleinergleich 2}
gegeben durch ?
Naja, nun kommt (I) ins Spiel:
Weiteres Auflösen liefert nämlich:
4-x=(y-2)²
y=2±wurzel(4-x)

Da der Definitionsbereich von f1 aber {r aus IR: r kleinergleich 2} war, ist die zugehörige Umkehrfunktion gegeben durch:
f1^(-1)=2-Wurzel(4-x)

2. Fall:
Betrachtest du aber f2: {r aus IR: r größergleich 2} -> {s aus IR: s kleinergleich 4} definiert durch
f2(x):=4x- x², so wäre analog die zugehörige Umkehrfunktion (wieder mit (I)) gegeben durch
f2^(-1): {s aus IR: s kleinergleich 4} -> {r aus IR: r größergleich 2}
f2(x)= 2+wurzel(4-x)

Der Kommentar vorher war übrigens keinesfalls als Beleidigung gemeint (auch, wenn er nicht von mir stammt), sondern man wollte dir mitteilen, dass die Aufgabe, wenn sie in dieser Art gestellt wird, keinen Sinn macht, es sei denn, der Lehrer nimmt immer automatisch bestimmte Einschränkungen an (die du uns nicht mitgeteilt hast). So ist mir z.B. bekannt, dass manch ein Lehrer behauptet, dass die Umkehrfunktion von u(x)=x² die Funktion v(x)=Wurzel(x) sei. Er meint dann aber eigentlich, dass dies so ist, wenn x größergleich 0 (sowohl bei u als auch bei v) vorausgesetzt wird.
Das Problem dabei ist, dass, wenn derartiges nirgendswo erwähnt wird, die Aussage falsch ist.
Weil nämlich f(-2)=4=f(2) gilt (wenn f(x)=x²), ist f gar nicht umkehrbar, wenn man f auf ganz IR betrachtet. Denn die Umkehrfunktion müßte dann zu dem Wert 4 ja dann die Werte 2 und -2 liefern, womit der Begriff Umkehrfunktion alleine deshalb schon nicht sinnvoll wäre, weil bei einer Funktion jedem Wert genau ein Wert zugeordnet wird.

Ich hoffe, du kommst damit nun klar. CU
Gast-neu
Gast






BeitragVerfasst am: 31 Mai 2004 - 16:39:38    Titel: Korrektur

Ersetze dieses hier:
Vernünftige (und maximale) Einschränkungen lassen sich mit (*) (bzw. mit dem Scheitelpunkt S) und dem angegebenen Wertebereich angeben

bitte durch:
(*) Vernünftige (und maximale) Einschränkungen lassen sich mit (I) (bzw. mit dem Scheitelpunkt S) und dem angegebenen Wertebereich angeben
Gast-neu
Gast






BeitragVerfasst am: 31 Mai 2004 - 16:45:06    Titel: Entschuldige ;-)

Ich hatte das hier überlesen:
ich komm da einfach nicht weiter...ich stelle jetzt mal die komplette aufgabe hier rein...vielleciht kann mir ja jemand helfen...

Auf welchem Intervall ist f umkehrbar? Bestimmen Sie f quer (x) und geben Sie D fquer an.

f (x) = 4 x - x²


Schau dir nun mal f1 und f2 an, die zugehörigen Umkehrfunktionen habe ich mit f1^(-1) bzw. f2^(-1) bezeichnet (anstatt mit f1-quer bzw- f2-quer).

Ich hatte nur deine ursprüngliche Frage in Erinnerung und muss das wohl übersehen haben, ich Blindfisch Cool
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