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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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 Verfasst am: 19 Jun 2012 - 17:28:53 Titel: Optimales Werbebudget errechnen |
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Ich hoffe, ich bin hier mit meiner mathematischen Frage richtig.
Es geht um Folgendes: Es ist eine Preis-Absatzfunktion gegeben durch P=690-3x+2*Wurzel aus W (W steht für Werbebudget).
Die Kostenfunktion lautet: K=2x^2+10x+4500
Nun soll man das optimale Werbebudget, den optimalen Preis und die daraus resultierende optimale Absatzmenge errechnen.
Stehe da etwas auf dem Schlauch und verstricke mich in diversen Rechnungen, deren Ergebnisse am Ende in Abhängigkeit von W stehen. Auf eine konkrete Zahl für das Werbebudget komme ich einfach nicht. Gut, vielleicht mag es daran liegen, dass ich nach mehreren Stunden Lernen nicht mehr vollkommen konzentriert bin, aber es wäre klasse, wenn mir jemand helfen würde, den Berg zu entfernen vor dem ich Ochse gerade stehe. |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 17:45:36 Titel: |
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Wir nehmen an, dass Gewinnoptimierung für das Unternehmen "optimal" ist.
Dann ist die Gewinnfunktion
G = Umsatz - Kosten = P*x - K
Die Gewinnfunktion musst du optimieren. Versuch das mal, und wenn du nicht weiter kommst, helfe ich gerne weiter 
edit: kleiner Tipp. Beachte, dass die Werbeausgaben auch Kosten sind und damit in der Gewinnfunktion auf Seite der Kosten auch enthalten sein müssen. Vielleicht liegts ja schon daran, dass dus nicht ganz hinkriegst
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Oh man, wie abgefuckt die Leute sein müssen, dass die dir glauben!
-Freund über meine Aktivität im Forum (ohne Inhalte zu kennen  ) |
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 19:01:10 Titel: |
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Das Prinzip ist mir auch so weit klar. Habe gefühlte 100 Aufgaben gerechnet, wo ich die Gewinnfunktion optimiert habe, woraus sich die optimale Menge ergibt usw.
Ich komme nur nicht damit klar, wie ich die optimalen Werbeausgaben da errechne. Denn wenn ich die Gewinnfunktion aufstelle mit Preis*Menge-Kosten habe ich in der oben genannten Preisfunktion diese Variable W für die Werbekosten. Also habe ich eine Gewinnfunktion mit W und X und dann komme ich nicht weiter. Also müsste ich die optimalen Werbekosten doch vorher errechnen, oder? |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 19:13:36 Titel: |
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Hier ist die Gewinnfunktion, wie ich sie aufstellen würde:
U = P*x
K = 2x^2+10x+4500+w
G = U - K = P*x-(2x^2+10x+4500+w)
G = 690x-3x²+2xsqrt(w)-2x²-10x-4500-w
G = 680x-5x²+2xsqrt(w)-4500-w
Die Gewinnoptimale Menge hast du wenn
dG/dx sowie dG/dw gleich 0 sind, und die zweiten Ableitungen negativ sind.
Dann kriegst du 2 Gleichungen (jeweils = 0) mit 2 variablen (x und w), die du dann auflösen kannst
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 20:02:16 Titel: |
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| Danke, das macht Sinn und klingt logisch. Könntest du mir noch kurz die Ableitung nach W zeigen? Komme da leider nicht auf eine vernünftige Gleichung. |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 20:16:29 Titel: |
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| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| Danke, das macht Sinn und klingt logisch. Könntest du mir noch kurz die Ableitung nach W zeigen? Komme da leider nicht auf eine vernünftige Gleichung. |
G = ... + 2x*w^1/2 - w
dG/dw = x*w^-1/2 - 1
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 20:37:10 Titel: |
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| LoLzeBoB hat folgendes geschrieben: |
dG/dw = x*w^-1/2 - 1 |
Gut, so hatte ich das auch. Wenngleich es jetzt ein bißchen weit von der Ausgangsfrage weg ist, aber wie bekomme ich das ordentlich nach einer Variable aufgelöst? |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 19 Jun 2012 - 20:42:08 Titel: |
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| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| LoLzeBoB hat folgendes geschrieben: |
dG/dw = x*w^-1/2 - 1 |
Gut, so hatte ich das auch. Wenngleich es jetzt ein bißchen weit von der Ausgangsfrage weg ist, aber wie bekomme ich das ordentlich nach einer Variable aufgelöst? |
Wie bereits gesagt, musst du die Ableitungen gleich null setzen.
dann kriegst du
x*w^-1/2 - 1 = 0 bzw x/w^1/2 = 1 und
dG/dx = ... = 0
das Gleichungssystem kannst du dann nach x und w auflösen und hast die optimale Menge & Werbebudget
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 20 Jun 2012 - 18:01:16 Titel: |
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| Perfekt. Ging alles schön auf. Danke dir! |
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 20 Jun 2012 - 19:28:51 Titel: |
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| Bei der Gelegenheit kommt eine weitere Frage in der folgenden Aufgabe auf. Ich hoffe, ich überstrapaziere die Geduld hier nicht. Eigentlich ist es simpel, man soll wieder eine Gewinnfunktion mit Hinblick auf die optimale Absatzmenge optimieren. Diesmal allerdings mit vorgegebenen Gewinn. Wie baue ich diese Gewinnvorgabe als Bedingung mit ein? Die Gewinnfunktion einfach gleich 100000€ (das ist der angestrebte Gewinn) setzen, ist nicht sinnvoll, da die Summe beim Ableiten ohnehin wegfällt. |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 20 Jun 2012 - 19:41:21 Titel: |
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| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| Bei der Gelegenheit kommt eine weitere Frage in der folgenden Aufgabe auf. Ich hoffe, ich überstrapaziere die Geduld hier nicht. Eigentlich ist es simpel, man soll wieder eine Gewinnfunktion mit Hinblick auf die optimale Absatzmenge optimieren. Diesmal allerdings mit vorgegebenen Gewinn. Wie baue ich diese Gewinnvorgabe als Bedingung mit ein? Die Gewinnfunktion einfach gleich 100000€ (das ist der angestrebte Gewinn) setzen, ist nicht sinnvoll, da die Summe beim Ableiten ohnehin wegfällt. |
Wenn der Gewinn bereits festgesetzt ist, kannst du ihn schlecht optimieren. Sicher, dass du die Frage richtig gelesen hast? Willst du vielleicht etwas anderes optimieren?
Und keine Sorge, wenn du Geduld überstrapazierst oder ich auch nur keine Lust habe zu antworten, mache ichs auch nicht mehr. Wäre aber gut, wenn du mehr infos zu deinen Fragen posten könntest, z.B. konkrete aufgabenstellung und dein bisheriger Lösungsansatz so weit wie du gekommen bist
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 20 Jun 2012 - 22:17:33 Titel: |
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| LoLzeBoB hat folgendes geschrieben: |
| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| Bei der Gelegenheit kommt eine weitere Frage in der folgenden Aufgabe auf. Ich hoffe, ich überstrapaziere die Geduld hier nicht. Eigentlich ist es simpel, man soll wieder eine Gewinnfunktion mit Hinblick auf die optimale Absatzmenge optimieren. Diesmal allerdings mit vorgegebenen Gewinn. Wie baue ich diese Gewinnvorgabe als Bedingung mit ein? Die Gewinnfunktion einfach gleich 100000€ (das ist der angestrebte Gewinn) setzen, ist nicht sinnvoll, da die Summe beim Ableiten ohnehin wegfällt. |
Wenn der Gewinn bereits festgesetzt ist, kannst du ihn schlecht optimieren. Sicher, dass du die Frage richtig gelesen hast? Willst du vielleicht etwas anderes optimieren? |
Vielleicht habe ich mich unklar ausgedrückt.
Die Aufgabe lautet: Ein Produkt hat die Preis-Absatz-Funktion 1610-x
Die Kostenfunktion lautet 20000+10x+3x^2
Welchen Preis soll das Unternehmen fordern, wenn die Absatzmenge unter der Bedingung maximiert werden soll, dass sie einen Gewinn von 100000€ erzielt.
->Die Gewinnfunktion aufzustellen ist ja simpel: 1600x-4x^2-20000
Die Optimierung wäre ebenfalls einfach, nur wie baue ich die Vorgabe des Gewinns von 100000€ ein? |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 20 Jun 2012 - 22:20:40 Titel: |
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| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| LoLzeBoB hat folgendes geschrieben: |
| phan90 hat folgendes geschrieben: |
| Bei der Gelegenheit kommt eine weitere Frage in der folgenden Aufgabe auf. Ich hoffe, ich überstrapaziere die Geduld hier nicht. Eigentlich ist es simpel, man soll wieder eine Gewinnfunktion mit Hinblick auf die optimale Absatzmenge optimieren. Diesmal allerdings mit vorgegebenen Gewinn. Wie baue ich diese Gewinnvorgabe als Bedingung mit ein? Die Gewinnfunktion einfach gleich 100000€ (das ist der angestrebte Gewinn) setzen, ist nicht sinnvoll, da die Summe beim Ableiten ohnehin wegfällt. |
Wenn der Gewinn bereits festgesetzt ist, kannst du ihn schlecht optimieren. Sicher, dass du die Frage richtig gelesen hast? Willst du vielleicht etwas anderes optimieren? |
Vielleicht habe ich mich unklar ausgedrückt.
Die Aufgabe lautet: Ein Produkt hat die Preis-Absatz-Funktion 1610-x
Die Kostenfunktion lautet 20000+10x+3x^2
Welchen Preis soll das Unternehmen fordern, wenn die Absatzmenge unter der Bedingung maximiert werden soll, dass sie einen Gewinn von 100000€ erzielt.
->Die Gewinnfunktion aufzustellen ist ja simpel: 1600x-4x^2-20000
Die Optimierung wäre ebenfalls einfach, nur wie baue ich die Vorgabe des Gewinns von 100000€ ein? |
Du maximierst hier nicht den Gewinn, sondern die Absatzmenge. D.h. du stellst wieder die Gewinnfunktion auf, ABER: Jetzt setzt für für Gewinn deine 100000 ein und löst nach Absatzmenge x auf. Dann optimierst du nach x, sprich du suchst wann dx/dP = 0
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 21 Jun 2012 - 17:29:03 Titel: |
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Gewinnfunktion gleich 100000 gesetzt und nach x aufgelöst ergibt als Funktion bei mir wurzel(((120000-1600x)/4)*0,5) ->Bei http://www.ableitungsrechner.net/ einsetzen, dann sieht man die Gleichung in "schön" 
Dann wäre eine Menge von x=75 optimal. Es müsste aber eigentlich 300 sein.
Verstehe nicht, warum ich die Aufgabe nicht hinbekomme. Alles folgende und eigentlich schwierigere ging fast ausnahmslos ohne Probleme. Danke, dass du dir die Zeit nimmst. |
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LoLzeBoB
Senior Member
Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1086
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| Verfasst am: 22 Jun 2012 - 07:23:50 Titel: |
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Mein Fehler... Ich dachte, du hättest auch wieder Werbeausgaben da drin - hab nicht richtig gelesen
In dem Fall ist es ja dann eine Gleichung mit nur einer Variablen. Das heisst, du kannst sie einfach auflösen, ohne abzuleiten, und kriegst dann x1 = 100 und x2 = 300 (zwei Lösungen da quadratische Gleichung). Da du die Produktion maximieren willst, nimmst du die größere (300).
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phan90
Newbie
Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 26
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| Verfasst am: 22 Jun 2012 - 17:44:38 Titel: |
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| Perfekt, so passt es. Vielen herzlichen Dank! |
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