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Optimales Werbebudget errechnen
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phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 16:28:53    Titel: Optimales Werbebudget errechnen

Ich hoffe, ich bin hier mit meiner mathematischen Frage richtig.

Es geht um Folgendes: Es ist eine Preis-Absatzfunktion gegeben durch P=690-3x+2*Wurzel aus W (W steht für Werbebudget).

Die Kostenfunktion lautet: K=2x^2+10x+4500

Nun soll man das optimale Werbebudget, den optimalen Preis und die daraus resultierende optimale Absatzmenge errechnen.

Stehe da etwas auf dem Schlauch und verstricke mich in diversen Rechnungen, deren Ergebnisse am Ende in Abhängigkeit von W stehen. Auf eine konkrete Zahl für das Werbebudget komme ich einfach nicht. Gut, vielleicht mag es daran liegen, dass ich nach mehreren Stunden Lernen nicht mehr vollkommen konzentriert bin, aber es wäre klasse, wenn mir jemand helfen würde, den Berg zu entfernen vor dem ich Ochse gerade stehe.
LoLzeBoB
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Anmeldungsdatum: 14.05.2010
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 16:45:36    Titel:

Wir nehmen an, dass Gewinnoptimierung für das Unternehmen "optimal" ist.

Dann ist die Gewinnfunktion

G = Umsatz - Kosten = P*x - K

Die Gewinnfunktion musst du optimieren. Versuch das mal, und wenn du nicht weiter kommst, helfe ich gerne weiter Smile

edit: kleiner Tipp. Beachte, dass die Werbeausgaben auch Kosten sind und damit in der Gewinnfunktion auf Seite der Kosten auch enthalten sein müssen. Vielleicht liegts ja schon daran, dass dus nicht ganz hinkriegst
phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 18:01:10    Titel:

Das Prinzip ist mir auch so weit klar. Habe gefühlte 100 Aufgaben gerechnet, wo ich die Gewinnfunktion optimiert habe, woraus sich die optimale Menge ergibt usw.

Ich komme nur nicht damit klar, wie ich die optimalen Werbeausgaben da errechne. Denn wenn ich die Gewinnfunktion aufstelle mit Preis*Menge-Kosten habe ich in der oben genannten Preisfunktion diese Variable W für die Werbekosten. Also habe ich eine Gewinnfunktion mit W und X und dann komme ich nicht weiter. Also müsste ich die optimalen Werbekosten doch vorher errechnen, oder?
LoLzeBoB
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Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1317
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 18:13:36    Titel:

Hier ist die Gewinnfunktion, wie ich sie aufstellen würde:

U = P*x
K = 2x^2+10x+4500+w

G = U - K = P*x-(2x^2+10x+4500+w)
G = 690x-3x²+2xsqrt(w)-2x²-10x-4500-w
G = 680x-5x²+2xsqrt(w)-4500-w

Die Gewinnoptimale Menge hast du wenn
dG/dx sowie dG/dw gleich 0 sind, und die zweiten Ableitungen negativ sind.

Dann kriegst du 2 Gleichungen (jeweils = 0) mit 2 variablen (x und w), die du dann auflösen kannst
phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 19:02:16    Titel:

Danke, das macht Sinn und klingt logisch. Könntest du mir noch kurz die Ableitung nach W zeigen? Komme da leider nicht auf eine vernünftige Gleichung.
LoLzeBoB
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Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1317
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 19:16:29    Titel:

phan90 hat folgendes geschrieben:
Danke, das macht Sinn und klingt logisch. Könntest du mir noch kurz die Ableitung nach W zeigen? Komme da leider nicht auf eine vernünftige Gleichung.

G = ... + 2x*w^1/2 - w
dG/dw = x*w^-1/2 - 1
phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 19:37:10    Titel:

LoLzeBoB hat folgendes geschrieben:

dG/dw = x*w^-1/2 - 1


Gut, so hatte ich das auch. Wenngleich es jetzt ein bißchen weit von der Ausgangsfrage weg ist, aber wie bekomme ich das ordentlich nach einer Variable aufgelöst?
LoLzeBoB
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Anmeldungsdatum: 14.05.2010
Beiträge: 1317
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2012 - 19:42:08    Titel:

phan90 hat folgendes geschrieben:
LoLzeBoB hat folgendes geschrieben:

dG/dw = x*w^-1/2 - 1


Gut, so hatte ich das auch. Wenngleich es jetzt ein bißchen weit von der Ausgangsfrage weg ist, aber wie bekomme ich das ordentlich nach einer Variable aufgelöst?


Wie bereits gesagt, musst du die Ableitungen gleich null setzen.

dann kriegst du

x*w^-1/2 - 1 = 0 bzw x/w^1/2 = 1 und
dG/dx = ... = 0

das Gleichungssystem kannst du dann nach x und w auflösen und hast die optimale Menge & Werbebudget
phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2012 - 17:01:16    Titel:

Perfekt. Ging alles schön auf. Danke dir!
phan90
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Anmeldungsdatum: 16.05.2011
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2012 - 18:28:51    Titel:

Bei der Gelegenheit kommt eine weitere Frage in der folgenden Aufgabe auf. Ich hoffe, ich überstrapaziere die Geduld hier nicht. Eigentlich ist es simpel, man soll wieder eine Gewinnfunktion mit Hinblick auf die optimale Absatzmenge optimieren. Diesmal allerdings mit vorgegebenen Gewinn. Wie baue ich diese Gewinnvorgabe als Bedingung mit ein? Die Gewinnfunktion einfach gleich 100000€ (das ist der angestrebte Gewinn) setzen, ist nicht sinnvoll, da die Summe beim Ableiten ohnehin wegfällt.
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