Kompaktheit konkreter Abbildungen

Nikigraus · Newbie Anmeldungsdatum: 08.02.2009 Beiträge: 42

Hi,
ich soll die überprüfen, ob gegebene Abbildungen A: C[0,1] -> C[0,1] kompakt sind; leider weiß ich nicht, ob meine Herangehensweise richtig ist.

Genutzt habe ich die Definition, dass ein Operator A:M -> N kompakt ist, wenn für jede beschränkte Folge (f_n) aus M die Bildfolge (A f_n) aus N eine konvergente Teilfolge besitzt.

Für
A: f(x) -> x*f(x)
war meine Idee:
Wähle beschränkte Folge (f_n) aus M, mit f_n -> f, für n -> inf
A ist offensichtlich stetig und linear, dann ist A auch beschränkt

Also mit |f_n -f_m| < epsilon
|| A f_n -A f_m || = || A (f_n-f_m) || <= ||A||*||f_n-f_m|| -> 0, für n -> inf

da A beschränkt und f_n konvergente, beschränkte Folge.

Also besitzt auch (A f_n) eine konvergente Teilfolge und somit wäre A kompakt.

Ich bin mit allerdings nicht sicher, ob zum einen diese Vorgehensweise, die richtige ist und zum anderen, ob dieser Beweis so stimmt.
Für Hilfe jeglicher Art, wäre ich sehr dankbar...