Extremwert: Denkfehler?

Famati · Newbie Anmeldungsdatum: 07.02.2011 Beiträge: 15

Hallo

Ich glaube, ich steh grade richtig auf der Leitung. Hoffentlich könnt ihr mir helfen.
Ich soll, eigentlich ganz simpel, das Maximum dieser Gleichung:
f(x) = -1/3*x²+2x+2
auf zwei Arten bestimmen.

Zuerst habe ich die erste Ableitung gebildet und diese gleich Null gesetzt. Dadurch bin ich auf x=3 gekommen. Da die zweite Ableitung negativ ist, habe ich ein lokales Maximum.

Die Vorzeichentabelle bringt mich jedoch total aus dem Konzept:
Wenn ich f(-20) ausrechne, kommt ein negativer Wert raus.
Bei f(-0,1) ein positiver und bei f(2) ebenfalls ein positiver.

Hab ich einen Extrempunkt übersehen oder wieso wechselt sich da das Vorzeichen?

Liebe Grüße und vielen Dank im Vorraus!

Ol@f · Full Member Anmeldungsdatum: 05.09.2007 Beiträge: 482

Naja, du hast eine nach unten geöffnete Parabel, was aus der Abbildungsvorschrift klar ist. Daraus ist auch sofort ersichtlich, dass es nur ein (globales) Maximum geben kann. Deshalb ist auch klar, dass es um eine Umgebung von x=3 nur kleinere Funktionswerte geben kann. Deine Tabelle gibt jetzt nur Punkte auf dem Graphen an. Die sind wegen obiger Überlegung kleiner als f(3).

Bei der "Vorzeichentabelle" (hab ich zwar noch nie gehört) müsstest du die Werte der ersten Ableitung betrachten, wenn du über ein Extrema eine Aussage machen möchtest! Zumindest wenn ich den Begriff richtig interpretier. Dies ist auch ziemlich anschaulich. Nehmen wir mal an, wir haben ein (lokales) Maximum bei x_0. Die Steigung "links" von x_0 ist dann positiv, "rechts" von x_0 negativ. Das heißt bei der Ableitung hast du dann "links" von x_0 positive Werte und "rechts" von x_0 negative Werte und somit ein Vorzeichenwechsel, bei einem Minimum dann entsprechend umgekehrt.

Alternativ könntest du natürlich auch zig Funktionswerte von f betrachten und wenn du zweimal den selben Funktionswert hast, dann hast du mind. ein Maximum oder Minimum, es sei denn die Funktion ist konstant.

Edit. Alternativ kannst du hier auf deine Funktion auf Scheitelpunktform bringen, so kannst du dann auch dein Maximum bestimmen.
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Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erwiesen sich viele von ihnen als falsch. (Bertrand Russell)

Famati · Newbie Anmeldungsdatum: 07.02.2011 Beiträge: 15

Achjaaaa, das Problem lag darin, dass ich bei der Vorzeichen Tabelle mit f(x) gearbeitet habe und nicht mit f´(x).
Herrje Embarassed

Vielen vielen Dank!!!!