Komplexe Zahlen

1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 09:16:51 Titel: Komplexe Zahlen

Hallo zusammen,

wie deutet man folgende komplexe Zahl in der Gaußschen Zahlenebene (also im Diagramm):

z3= cos 45° +i sin 45°
z4= cos (-135°) +i sin (-135°)
Muss ich quasi die Winkel mit cos und sin erst errechnen um an den Wert zu kommen?

Wenn dann z3 und z4 addieren bzw voneinander abziehen möchte muss ich diese ebenfalls "ausmultiplizieren"? Oder muss den cos Winkel mit dem cos Winkel und den sin Winkel mit dem sin Winkel miteinander verrechnen?

Ich würde mich über Tipps und Anregungen sehr freuen...

VG 1509MSI

bassiks · Senior Member Anmeldungsdatum: 31.07.2007 Beiträge: 604

Kennst du das?

exp(i*a)=cos(a)+i*sin(a)
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1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 09:36:14 Titel:

dies ist doch die eulerische formel oder?

bassiks · Senior Member Anmeldungsdatum: 31.07.2007 Beiträge: 604

Genau...Das heißt du kannst deine komplexen Zahlen in die Form r*exp(i*a) bringen. Dann musst du nur mehr schaun was a und r eigentlich sind in dieser Form...
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1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 09:40:15 Titel:

also bringt es nichts wenn ich folgendes schreibe:

e^i45°=0,707+i*0,707

bassiks · Senior Member Anmeldungsdatum: 31.07.2007 Beiträge: 604

warum solltest du?

wie wird eine komplexe zahl der form r*exp(i*a) in der Gaußschen Zahlenebene denn dargestellt?

Schau dir vllt. mal die Zeichnung bei wikipedia an:

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Euler%27s_formula.svg&filetimestamp=20090520174739
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1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 09:58:20 Titel:

so bin jetzt soweit dass ich alles mit "r" erweitert habe, auf meinem Blatt steht nun folgendes:

r*e^i45°= r*cos45°+i*r*sin45°

muss ich jetzt nach r auflösen?

das wäre für mich die logischte Schlussfolgerung

bassiks · Senior Member Anmeldungsdatum: 31.07.2007 Beiträge: 604

Nein...

Dein r ist in deinem Fall ja offensichtlich 1 oder?

dein a kennst du ja...

Jetzt musst du das nur noch in die Gaußsche Zahlenebene einzeichnen, also einen Pfeil der Länge 1 mit Winkel a...
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1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 10:08:48 Titel:

okay super dann wäre der 1. Teil meiner Frage geklärt

Danke!

nun zum zweiten Teil:

wie addiere, subtrahiere, dividiere und multipliziere ich

z3= cos 45° +i sin 45°
z4= cos (-135°) +i sin (-135°)

dies?

Matthias20 · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 12:04:54 Titel:

schreib doch einfach mal den Ansatz auf und fang' an:

z := z3+z4 = ... Zusammenfassen und berechnen

Subtrahieren und Multiplizieren dito.

Wobei du es dir bzgl. der Multiplikation viel leichter machen kann, wenn du die komplexe Zahl in die Exponentialform transformierst und dann mit den Potenzgesetzen rechnest.
Bei der Division benoetigst du diese Form auch - hier ist dann noch auf die Anzahl der Loesungen zu achten !

Gruss,
Matthias
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1509MSI · Verfasst am: 26 Jun 2012 - 12:11:29 Titel:

in der zwischenzeit habe ich heraus gefunden wie ich multipliziere und dividiere:

z1*z2= r1*r2(cos(alpha1+alpha2)+ i sin(alpha1+alpha2)

z1/z2= r1/r2(cos(alpha1-alpha2)+ i sin(alpha1-alpha2)

gib mal nen beispiel wie das mit der addition und subtraktion meinst...

Matthias20 · Verfasst am: 27 Jun 2012 - 10:04:15 Titel:

z := (a+j*b) + (c + j*d) = (a+c) + j*(b+d)
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1509MSI · Verfasst am: 27 Jun 2012 - 10:07:52 Titel:

sehr herzlichen Dank! Very Happy