Ableitung - Kriege es nicht hin

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Hallo zusammen,

ich brauche bei einer Aufgabe Hilfe, bei der ich einfach nicht auf das richtige Ergebnis komme. Es geht um eine Kurvendiskussion also muss man natürlich ableiten.

Gleichung: f(x) = (x - 1) / (x - 2)²

Nach Kettenregel: u/v = (u' * v - v' * u) / v²
u' = 1
v' = 2x-4

Also: 1 * (x - 2)² - (2x - 4) * (x - 1) / ((x -2)²)²

Dort kommt bei mir raus: (x - 2)² - 2x² -2x -4x -4 / (x - 2)^4

Zusammengefasst: -x ² -10x + 8 / (x - 2)^4
Diese Lösung scheint aber falsch zu sein.

Laut Lösungsblatt ist f'(x) = -(x/(x - 2)³)

Jetzt die Frage: Wo ist mein Fehler? Ich finde ihn einfach nicht.

Vielen Dank im Voraus.

Gruß
Pendrake

Hausmann · Senior Member Anmeldungsdatum: 22.08.2009 Beiträge: 2706

Bei solchen Aufgaben nicht voreilig ausmultiplizieren, sondern kürzen!
f'(x)= [(x - 2)² - (x - 1) 2 (x - 2)] : (x - 2)^4
= [(x - 2) - (x - 1) 2 )] : (x - 2)³
= -x : (x - 2)³

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Wunderbar, danke! Falls ich bei der 2. oder 3. Ableitung Probleme habe werde ich dann ggf. hier noch mal posten Smile

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Ich muss leider noch mal fragen.

f'(x) = - (x/(x -2)³)
f''(x) ist laut Lösungsblatt 2 ((x + 1) / (x - 2)^4)

Wenn ich jetzt bei f'(x) wieder nach der Quotientenregel alles mache:
u' = 1
v' = 3x² - 12x +12

Dann habe ich:
(x - 2)³ - ( 3* (x-2)²) * x / (x-2)^6

Ab da komme ich nicht so recht weiter.

Ich habe das Minus am Anfang von f'(x) jetzt erst mal nicht beachtet, da sollte man ja danach das Ergebnis der Ableitung einfach * -1 rechnen können oder? Lang ist's her mit Mathe Smile

Nochmal vielen Dank im Voraus!

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Du kannst mit (x-2)² kürzen. Kommst du damit schonmal weiter?

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Ja, das habe ich auch gesehen - hatte es nur nicht geschrieben, da es mich trotzdem irgendwie nicht zum Ziel brachte Smile

Wenn ich mit (x - 2)² kürze bekomme ich
x - 2 - 3x / (x - 2)^4 raus

=> -2x -2 / (x - 2)^4

=> 2( (x + 1) / (x - 2)^4) wenn ich die -1 vor dem Bruch, welcher ich vorhin ausgelassen habe, benutze. Somit habe ich dann mein Ergebnis und stelle fest, dass ich Tomaten auf den Augen hatte. Trotzdem danke für die Hilfe Wink

Ich mache mich dann mal an die 3. Ableitung.

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Gut, abschließend jetzt noch die 3. Ableitung.

f''(x) = 2 ((x + 1) / (x - 2)^4

Wieder mit der Quotientenregel:
u' = 2
v' = 4(x - 2)^3

Dann habe ich
(2 * (x - 2)^4 - 4(x -2)^3 * (2x+1)) / (x - 2)^8

Jetzt kürze ich mit (x - 2)³

2 * (x - 2) - 4 * (2x+1)) / (x - 2)^5

=> 2x - 4 - 8x - 8 / (x - 2)^5

=> -6x -12 / (x - 2)^5

Die Lösung soll aber -6 ((x+2) / (x - 2)^2) sein - wo ist also mein Fehler?
Ich finde ihn leider nicht. Ich müsste ja in meiner Rechnung dementsprechend -6x -12 im Zähler haben, habe ich nur nicht Sad

Hausmann · Senior Member Anmeldungsdatum: 22.08.2009 Beiträge: 2706

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7

Hausmann · Senior Member Anmeldungsdatum: 22.08.2009 Beiträge: 2706

Himmel, Arsch und Donnerbalken! Du weiß doch jetzt, wie es läuft... Evil or Very Mad

Pendrake · Newbie Anmeldungsdatum: 30.06.2012 Beiträge: 7