DGL 1. Ordnung

oida22 · Newbie Anmeldungsdatum: 08.07.2012 Beiträge: 2

Hallo an alle,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

y'-2y=x+e^x

es soll die allgemeine Lösung bestimmt werden.

gan mir einern einen Tipp zu der Aufgabe geben

Danke schonmal

Cheater! · Verfasst am: 08 Jul 2012 - 17:59:44 Titel:

Erst die homogene Gleichung.

Ansatz: y_h = e^lambda*x

Stichwort: charakteristisches Polynom

Dann die inhomgene Gleichung über einen speziellen Ansatz.

kölscheklüngel · Verfasst am: 08 Jul 2012 - 21:47:20 Titel:

Hi oida22, ich glaube was Cheater! geschrieben hat, wird für die DGL 2-ter Ordnung angewandt.

Du musst für y' schreiben dy/dx -2y =x+e^x, dann

-2ydy = x+e^xdx, dann auf beiden Seiten integrieren.

kölscheklüngel · Verfasst am: 15 Jul 2012 - 20:52:06 Titel:

Hi oida22,

ist die, von mir gelöste DGL richtig gewesen? Würde mich über eine Antwort freuen. Sicher war ich mir nicht mehr, wenn es falsch war, dann würde ich noch was dazulernen.

Gruss kölscheklüngel

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Hi kölscheklüngel,
du hast da glaube ich etwas verwechselt:

da steht nicht y' * (-2y) = x+e^x, sondern y' + (-2y) = x+e^x.
So, wie es da steht, lässt es sich nicht durch Seperation der Variablen lösen.

Falls es dich interessiert:
Ich würde als erstes beide Seiten mit e^(-2x) multiplizieren. Danach kann man ganz einfach beide Seiten nach x integrieren.

ppq · Newbie Anmeldungsdatum: 18.07.2012 Beiträge: 3

Moin,
viel einfacher geht das meiner Meinung nach per Laplacetransformation. Da muss man nur aus der Formelsammlung ablesen und ein bisschen umstellen.

y'(x) wird zu s*Y(s) - y(0)
-2*y(x) wird zu -2*Y(s)
x wird zu 1/s²
e^x wird zu 1/(s-1)

also insgesamt: s*Y(s) - y(0) - 2*Y(s) = 1/s² + 1/(s-1)
<=> Y(s) * (s - 2) = 1/s² + 1/(s-1) + y(0)
<=> Y(s) = 1/(s²*(s-2)) + 1/((s-1)*(s-2)) + y(0)/(s-2)

Nun die Rücktransformation:
1/(s²*(s-2)) wird zu (e^(2*x) - 2*x - 1)/4
1/((s-1)*(s-2)) wird zu e^(2*x) - e^(x)
y(0)/(s-2) wird zu y(0)*e^(2*x)

=> y(x) = (1,25+y(0))*e^(2*x) - e^(x) - 0,5*x - 0,25

Wolfram|Alpha sieht das auch so.

Quelle: Lothar Papula - Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 10. Auflage S. 358