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DGL 1. Ordnung
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oida22
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Anmeldungsdatum: 08.07.2012
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2012 - 12:55:15    Titel: DGL 1. Ordnung

Hallo an alle,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

y'-2y=x+e^x

es soll die allgemeine Lösung bestimmt werden.

gan mir einern einen Tipp zu der Aufgabe geben

Danke schonmal
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4908
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2012 - 16:59:44    Titel:

Erst die homogene Gleichung.

Ansatz: y_h = e^lambda*x

Stichwort: charakteristisches Polynom


Dann die inhomgene Gleichung über einen speziellen Ansatz.
kölscheklüngel
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Anmeldungsdatum: 02.02.2011
Beiträge: 283
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2012 - 20:47:20    Titel:

Hi oida22, ich glaube was Cheater! geschrieben hat, wird für die DGL 2-ter Ordnung angewandt.

Du musst für y' schreiben dy/dx -2y =x+e^x, dann

-2ydy = x+e^xdx, dann auf beiden Seiten integrieren.
kölscheklüngel
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Anmeldungsdatum: 02.02.2011
Beiträge: 283
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 15 Jul 2012 - 19:52:06    Titel:

Hi oida22,

ist die, von mir gelöste DGL richtig gewesen? Würde mich über eine Antwort freuen. Sicher war ich mir nicht mehr, wenn es falsch war, dann würde ich noch was dazulernen.

Gruss kölscheklüngel
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2012 - 12:39:12    Titel:

Hi kölscheklüngel,
du hast da glaube ich etwas verwechselt:

da steht nicht y' * (-2y) = x+e^x, sondern y' + (-2y) = x+e^x.
So, wie es da steht, lässt es sich nicht durch Seperation der Variablen lösen.

Falls es dich interessiert:
Ich würde als erstes beide Seiten mit e^(-2x) multiplizieren. Danach kann man ganz einfach beide Seiten nach x integrieren.
ppq
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Anmeldungsdatum: 18.07.2012
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 18 Jul 2012 - 14:38:38    Titel:

Moin,
viel einfacher geht das meiner Meinung nach per Laplacetransformation. Da muss man nur aus der Formelsammlung ablesen und ein bisschen umstellen.

y'(x) wird zu s*Y(s) - y(0)
-2*y(x) wird zu -2*Y(s)
x wird zu 1/s²
e^x wird zu 1/(s-1)

also insgesamt: s*Y(s) - y(0) - 2*Y(s) = 1/s² + 1/(s-1)
<=> Y(s) * (s - 2) = 1/s² + 1/(s-1) + y(0)
<=> Y(s) = 1/(s²*(s-2)) + 1/((s-1)*(s-2)) + y(0)/(s-2)

Nun die Rücktransformation:
1/(s²*(s-2)) wird zu (e^(2*x) - 2*x - 1)/4
1/((s-1)*(s-2)) wird zu e^(2*x) - e^(x)
y(0)/(s-2) wird zu y(0)*e^(2*x)

=> y(x) = (1,25+y(0))*e^(2*x) - e^(x) - 0,5*x - 0,25

Wolfram|Alpha sieht das auch so.

Quelle: Lothar Papula - Mathematische Formelsammlung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 10. Auflage S. 358
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