Stochstik Binominalverteilung? Leuchtdiodenaufgabe

st37/2 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.07.2012 Beiträge: 5

Servus,

ich hoffe ihr könnt mir helfen, da ich leider keinerlei idee habe wie ich es lösen kann.

Ein Oldtimer unter den Stochastik aufgaben.

Massenproduktion Leuchtdioden, Ausschuss 1,7%

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 10.000 höchstens 200 defekt sind?

Ich habe es über die Binomi.-Verteilung probiert, aber da k= 200 ist wird das a langwierig und b 200! kann mein TR eh nicht!

Ich weiß das wohl 0,9894 herauskommen sollte aber wie komm ich dahin?

Danke im Voraus

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Habt ihr mal über Normalverteilung als Näherung für die Binomialverteilung gesprochen ?

st37/2 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.07.2012 Beiträge: 5

das kann sein, dass das behandelt wurde, da ich aber leider Quereinsteiger bin habe ich hierzu leider keine unter lagen. kurz gesagt ich habe es nicht gehabt. sr

cyrix42 · Verfasst am: 13 Jul 2012 - 11:16:13 Titel:

Dann lies doch das Kapitel nach. Smile

Cyrix
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st37/2 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.07.2012 Beiträge: 5

cyrix42 · Verfasst am: 13 Jul 2012 - 11:34:49 Titel:

Nun, dann wird dir die Aufgabe wenig bringen, da dir das Grundwissen, was hier vertieft / geübt werden soll, fehlt.

Erwartest du nun hier eine Nachhilfe?

Nutze beispielsweise wikipedia zur Kurzinformation oder eben die entsprechenden Schulbücher. Klar könnte man dir hier auch einfach das Ergebnis hinknallen, aber das würde dir rein gar nichts bringen...

Cyrix
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st37/2 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.07.2012 Beiträge: 5

Ich erwarte hier keine Nachhilfe, sondern erhoffe mir einen Tip oder einen Ansatz.

Dieses mal dazu, wenn dies eine Aufforderung war mich hier zu rechtfertigen.

Sofern ich mir diese Antwort, welche du mir an dieser Stelle entgegenest benötigt hätte, hätte ich diese auch meinem Dozenten stellen können, dieser hätte ggf. auch auf eine seriösere Quelle als wikipedia zum Bücher suchen hingewiesen.

Da du allerdings Thematisch, als auch im akademischen Ton abschweifst, ist es mir dennoch, obwohl dieses mit der eigentlichen Fragestellung nichts zu tun hat, ein Freude einen kleinen Exkurs zu geben.

Da diese Bücher, auf jene du nicht näher eingegangen bist, in einer Art geschrieben sind, die ich als durchaus kompliziert zu lernen interpretiere, macht es deutlich mehr Sinn, als auch ist es von einer höheren Effektivität gekrönt, es mit Worten erklärt zu bekommen, die einem selbst geläufiger sind. Man spricht auch umgangssprachlich von Mundjargong, von jenem ich mir erhoffte, dass dieser hier anzutreffen ist.

Sofern ich Dir, in der dazu gängigen Fachsprache von meinem Fachgebiet erzählen würde, wäre dein Verständnis im Grenzwert ebenfalls nicht gegen unendlich ausgeprägt.

Und zu guter letzt, wenn du mir nicht antworten möchtest, dann lass es doch einfach.

Mit kollegialem Gruß

st37/2

cyrix42 · Verfasst am: 13 Jul 2012 - 12:17:04 Titel:

Den Tipp, worum es geht, hast du in der ersten Antwort erhalten. Deshalb die Nachfrage, was du denn weiteres erwartest...

Cyrix
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Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Das Problem ist, dass es hier keinen "Ansatz" gibt, mit dem es dann ganz einfach weiter geht. Du brauchst für diese Aufgabe nunmal ein komplett neues Themengebiet, das man nicht mal so eben kurz im Forum erklären kann.

Das wäre wie wenn jemand fragt, ob man ihm einen Ansatz zur Berechnung von d/dx x^2 eben kann, derjenige aber noch nie etwas von Differentialrechnung gehört hat. Wenn du ableiten kannst, ist das eine sehr einfache Aufgabe, wie würdest du da einen Ansatz geben ?

st37/2 · Newbie Anmeldungsdatum: 13.07.2012 Beiträge: 5

erobique · Full Member Anmeldungsdatum: 08.08.2009 Beiträge: 309

Zunächst einmal: ja, Du hast eine Binomialverteilung vorliegen.
Diese hat zwei Parameter:
n = Deine Fallzahl, hier 10.000
p = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt kaputt ist, hier 0.017 (=1,7%)
Deine binomialverteilte Zufallsvariable X hat zwei Ausprägungen (deswegen bi-nomial) hat den Wert 1 wenn das Teil kaputt ist und 0 wenn es nicht kaputt ist.
Man schreibt: X ~ Bin(10.000, 0.017)
Dann hat so eine Binomialverteilung natürlich einen Erwartungswert, grob gesprochen ist das die Anzahl an kaputten Teilen die am wahrscheinlichsten ist, sie entspricht
E (X) = n * p = 10.000 * 0.017 = 170
Ich denke das leuchtet ein. Eine zweite abgeleitete Kennzahl ist die Varianz, sie sagt Dir, wie weit die Werte streuen. Bei einer Binomialverteilung ist das:
Var (X) = n * p * (1-p) = 167.11
Das ist wie Du siehst sehr groß, da bei der Berechnung quadriert wird. Man betrachtet dazu öfter die Standardabweichung, die Wurzel der Varianz, hier also:
SD (X) = 12.9271
Ohne ins Detail zu gehen: D.h. ein Großteil der Daten befindet sich im Intervall 170+- 12.9271, also etwa im Intervall von 157 bis 183.

Das sieht dann so aus:

Du suchst jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass Deine Anzahl an tatsächlich kaputten Teilen unter 200 liegt, das entspricht in der Grafik der großen Flächen die komplett vor 200 liegt. Du suchst also:
P ( X =< 200)
Dieser Zusammenhang (die aufsummierte/kumulierte Wahrscheinlichkeitsmasse bis zu einem bestimmten Punkt) wird durch die Verteilungsfunktion
Diese ist bei der Binomialverteilung nicht kompliziert, aber aufwendig zu berechnen bei großen Fallzahlen.

Deswegen gibt es eine Approximation/Annäherung durch die Normalverteilung, die gilt, wenn n (also Deine Fallzahl) besonders groß ist.
Dazu musst Du zunächst schauen: welche Parameter hat denn meine Normalverteilung? Diese ist durch Erwartungswert und Varianz bestimmt.
Bei großem n (hier ist das der Fall) kann man einfach den Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung übernehmen.
Man schreibt:
X ~ N (170, 167.11)
Jetzt kommt der entscheidende Schritt, man möchte das ganz nun normieren, um die zugehörigen Wahrscheilichkeiten dann einfach aus einer Tabelle ablesen zu können. Wir möchten wissen:
Welchen Wert würde 200 bei einer N (0,1) - Verteilung annehmen, das ist die sogenannte Standardnormalverteilung mit Erwartungswert 0 und Varianz 1, für die diese Werte in einer Tabelle vorliegen. Dazu führt man eine sogenannte z-Transformation durch, die lautet:
z = [ x - E(X) ] / SD(X) = [ 200 - 170] / 12.9271 = 2.32
In einer Standardnormalverteilung hätte die 200 (aus der vorigen Verteilung) nun den Wert 2.32.
Wir schauen in einer Tabelle der Verteilungsfunktion nach:
http://de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

Die zugehörige Wahrscheinlichkeit wäre also:
0,98983