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Diplomarbeit - beschränktes Wachstum
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el_viajero
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Anmeldungsdatum: 29.01.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 18:06:28    Titel: Diplomarbeit - beschränktes Wachstum

Hallo Leute,

bräuchte mal euren fachkundigen Rat. Hoffe ihr könnt mir weiterhelfen, obwohl ihr für meine Problemstellung wohl deutlich überqualifiziert seid Wink

Ich habe in meine Diplomarbeit ein mathematisches Modell eingebaut, dass auf folgender Funktion des beschränkten Wachstums beruht:

B(t) = S - (S - B(0)) * e^-k * n

Hatte einige Annahmen getroffen, die die Funktion erfüllen soll, und die Funktion erfüllt diese, darum habe ich sie ausgewählt.

Nun habe ich 3 Probleme:

1) k stellt in meinem Modell eine Art Steuerungsvariable dar, da ich damit die Steigung der Funktion beeinflussen kann. Im Rahmen meiner Diplomarbeit habe ich k als Änderungsrate bezeichnet, das ist aber mathematisch denke ich nicht korrekt, da die Änderungsrate ja eigentlich durch B(t+1) - B(t) beschrieben wird, was ja nicht gleich k ist. Gibt es für den Faktor k eine Bezeichnung?

2) Ich habe die Funktion in meinen Praxisteil bereits eingebaut, muss sie aber kurz im Theorieteil erklären (Eigenschaften usw.). Könnt ihr mir da ein einfaches Buch empfehlen, dass eine Art "Funktionssteckbrief" enthält?

3) Ist es wissenschaftlich vertretbar einfach eine Funktion auszuwählen, weil sie bestimmte Annahmen erfüllt, die ich zur Darstellung benötige oder muss ich irgendwie eine Quelle finden, die besagt, dass sie im vorliegenden Problemfall anwendbar ist? (Werde ich sicher nicht finden)

Danke schonmal für jegliche Hilfe!

VG


PS: Wie ihr wohl schon gemerkt habt bin ich kein Mathematiker Wink
frischell1990
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Anmeldungsdatum: 11.06.2011
Beiträge: 425

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2012 - 21:57:23    Titel:

1. Hat k eine Einheit? Wir haben in der Regelungstechnik oft mit Exponentialfunktionen der Zeit zu tun, die ähnlich aussehen. Da nennen wir die Konstante im Exponenten die Zeitkonstante. Du solltest k auch irgendwas-Konstante nennen.

2. Die Eigenschaften der Funktion kannst du mit einen Oberstufenbuch zur Kurvendiskussion beschreiben, es gibt da Checklisten. Kannst auch mal bei google oder YOutube nach Kurvendiskussion googeln. Ich weiss nicht, ob das genau das ist, was du benötigst, aber es ist ein Anfang.

3. Warum du eine bestimmte Funktion wählst, sollte (muss) immer begründet werden. Genau hier findet nämlich die Wissenschaft statt.
el_viajero
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Anmeldungsdatum: 29.01.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 09:23:45    Titel:

Danke schonmal! Aber

1) In meinem "Problemfall" hat k keine Einheit. Der zweite Exponent t stellt in meinem Fall eine Anzahl dar. k ist ein Faktor der Werte zwischen 0 und 5 annehmen kann, je nachdem ob einige Nebenbedingungen erfüllt sind. Meinst du ich sollte dem Ding einfach einen Namen geben?

also z.B. die Funktion f(x) = a * x. Hier entspricht a ja der Steigung. Ich wollte eigentlich wissen ob k einen generellen (keinen für mich fallspezifischen) Namen hat.

2) Hab in meiner Diplomarbeit arge Platzprobleme, da meine Seitenanzahl sehr beschränkt ist. Daher kann ich mir die Eigenschaften nicht selbst über ne Kurvendiskussion herleiten, sondern ich brauch einfach ein Buch das sagt
- Diese Funktion divergiert gegen S
- Die Steigung der Funktion sinkt mit größerem Anfangsbestand (B0)
- Die Steigung der Funktion steigt mit höherem k.
- ... usw.

Das spart mir einfach Platz wenn ich mich auf Literatur beziehe anstatt es selbst herzuleiten.

3) Ja, das ist mir klar. Aber reicht die Begründung: "Die Funktion erfüllt die Wünsche, die ich an die Funktion habe"?
frischell1990
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Anmeldungsdatum: 11.06.2011
Beiträge: 425

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 12:04:56    Titel:

Die Kurvendiskussion kann in den Anhang, der ist normalerweise nicht in der Seitenzahlvorgabe berücksichtigt. Da es dir nur um bestimmte Aspekte geht, bist du mit 1-2 Seiten bedient. Ansonsten kannst du dich mal umsehen, diese Form von exponentiellen Sättigungsfunktionen ist in den Ingenieurs- und Naturwissenschaften sehr weit verbreitet, es sollte zum Verhalten einiges an Unterlagen geben. Google mal nach Sättigungskurve oder Aufladekurve, das gibt viele Treffer.

Das Problem ist, dass ich die Anforderungen deines Profs nicht einschärzen kann. Die einen pfeifen in anwendungsfächern auf formal saubere Herleitungen, die anderen setzen viel darauf - gerade bei Öknonmen ist die Spanne zwischen diesen beiden Polen sehr groß. Außerdem kommt es darauf an, ob diese Formel von zentraler Bedeutung für deine Arbeit ist oder eher nebensächlich und daher nicht so genau betrachtet werden muss. Du musst selbst einschätzen, wie mathematisch sauber du die Formel aufarbeiten willst, wie viel Zeit und Platz du dafür aufwenden möchtest.


Zitat:
2) Hab in meiner Diplomarbeit arge Platzprobleme, da meine Seitenanzahl sehr beschränkt ist. Daher kann ich mir die Eigenschaften nicht selbst über ne Kurvendiskussion herleiten, sondern ich brauch einfach ein Buch das sagt
- Diese Funktion divergiert gegen S
- Die Steigung der Funktion sinkt mit größerem Anfangsbestand (B0)
- Die Steigung der Funktion steigt mit höherem k.
- ... usw.

Ich nehme an, dass n die Variable in deinem Fall ist und dass B ebenfalls eine Funktion von n ist. Das musst du in der Arbeit alles angeben. In diesem Fall gilt:
- Die Funktion konvergiert gegen S
- Ich denke, der Sachverhalt ist nicht richtig ausgedrückt. Das größere B0 bzw. k sorgt nicht für eine größere Steigung (imho ist die Steigung streng genommen nur für lineare Funktionen definiert), sondern für eine langsamere Konvergenz. Wobei ich nicht weiss, ob "langsam" hier angebracht ist. Es gibt für Sättigungsfunktionen den Begriff der Zeitkonstante (ich habe mich in meinem ersten Post vertan, die Zeitkonstante ist nicht der Faktor im Exponenten, sondern eine Eigenschaft der Funktion, die ihr Verhalten beschreibt). Formal wäre es denke ich richtig, das Verhalten deiner Funktion damit zu beschreiben:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zeitkonstante



Zitat:
Aber reicht die Begründung: "Die Funktion erfüllt die Wünsche, die ich an die Funktion habe"?

Ja, das ist das allgemeine Vorgehen. Hierzu musst du die Forderungen an die Funktion möglichst exakt festlegen und anschließend beweisen, dass diese Funktion die Vorgabe erfüllt.
el_viajero
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Anmeldungsdatum: 29.01.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 19:59:36    Titel:

frischell1990 hat folgendes geschrieben:
Die Kurvendiskussion kann in den Anhang, der ist normalerweise nicht in der Seitenzahlvorgabe berücksichtigt. Da es dir nur um bestimmte Aspekte geht, bist du mit 1-2 Seiten bedient. Ansonsten kannst du dich mal umsehen, diese Form von exponentiellen Sättigungsfunktionen ist in den Ingenieurs- und Naturwissenschaften sehr weit verbreitet, es sollte zum Verhalten einiges an Unterlagen geben. Google mal nach Sättigungskurve oder Aufladekurve, das gibt viele Treffer.

---> Hab mir auch schon überlegt das Beispiel des Kondensators heranzuziehen. Weiß aber nicht ob das angebracht ist im Theorieteil ein konkretes Beispiel zu nutzen.

Das Problem ist, dass ich die Anforderungen deines Profs nicht einschärzen kann. Die einen pfeifen in anwendungsfächern auf formal saubere Herleitungen, die anderen setzen viel darauf - gerade bei Öknonmen ist die Spanne zwischen diesen beiden Polen sehr groß. Außerdem kommt es darauf an, ob diese Formel von zentraler Bedeutung für deine Arbeit ist oder eher nebensächlich und daher nicht so genau betrachtet werden muss. Du musst selbst einschätzen, wie mathematisch sauber du die Formel aufarbeiten willst, wie viel Zeit und Platz du dafür aufwenden möchtest.


---> Ich WILL sie am liebsten garnicht aufarbeiten. Sie ist auch kein zentraler Bestandteil, aber auch nicht unwichtig. Hab nächste Woche ein Gespräch mit meinem Prof, da werd ich mal fragen wie tief ich da gehen muss


Zitat:
2) Hab in meiner Diplomarbeit arge Platzprobleme, da meine Seitenanzahl sehr beschränkt ist. Daher kann ich mir die Eigenschaften nicht selbst über ne Kurvendiskussion herleiten, sondern ich brauch einfach ein Buch das sagt
- Diese Funktion divergiert gegen S
- Die Steigung der Funktion sinkt mit größerem Anfangsbestand (B0)
- Die Steigung der Funktion steigt mit höherem k.
- ... usw.

Ich nehme an, dass n die Variable in deinem Fall ist und dass B ebenfalls eine Funktion von n ist. Das musst du in der Arbeit alles angeben. In diesem Fall gilt:
- Die Funktion konvergiert gegen S Danke, hatte in meiner Arbeit auch divergiert geschrieben Rolling Eyes
- Ich denke, der Sachverhalt ist nicht richtig ausgedrückt. Das größere B0 bzw. k sorgt nicht für eine größere Steigung (imho ist die Steigung streng genommen nur für lineare Funktionen definiert), sondern für eine langsamere Konvergenz. Wobei ich nicht weiss, ob "langsam" hier angebracht ist.

Hatte einen Fehler in meiner Funktion oben. Muss natürlich so lauten:

B(n) = S - (S - B(0)) * e^(-k * n)

Was ich sagen wollte war folgendes:

Wenn ich ein niedriges B(0) habe und ceteris paribus nur n um eins erhöhe, erhöht sich (B(n) stärker als wenn ich ein hohes B(0) habe.

Wenn ich ein hohes k wähle und ceteris paribus nur n um eins erhöhe erhöht sich B(n) stärker, als wenn ich ein niedriges k habe.

-> damit haben B(0) und k ja beide einen Einfluss auf meine Änderungsrate zwischen B(n) und B(n+1). Das muss ich in meinem Theorieteil unter anderem zeigen, damit ich es im Praxisteil aufgreifen kann :/


Zitat:
Aber reicht die Begründung: "Die Funktion erfüllt die Wünsche, die ich an die Funktion habe"?

Ja, das ist das allgemeine Vorgehen. Hierzu musst du die Forderungen an die Funktion möglichst exakt festlegen und anschließend beweisen, dass diese Funktion die Vorgabe erfüllt.

Das hilft mir schonmal sehr!

frischell1990
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Anmeldungsdatum: 11.06.2011
Beiträge: 425

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 20:15:54    Titel:

Ne, nicht den Kondensator nehmen sondern solche Funktionen allgemein behandeln. So wie hier ab seite 100:
http://books.google.co.uk/books?id=PQNfUDDoFgkC&pg=PA92&lpg=PA92&dq=steigende+s%C3%A4ttigungsfunktion&source=bl&ots=k5RT_lFC7_&sig=5D5_pTkkVy5PtfDA8Hx3D2bQR7E&hl=de&sa=X&ei=_cMBUJDjMIjL0QWSjo2_Bw&redir_esc=y#v=onepage&q=steigende%20s%C3%A4ttigungsfunktion&f=false
Vielleicht ist diese Quelle als Beschreibung der Eigenschaften der Funktion sogar ausreichend für deine Zwecke.
Zitat:
Hatte einen Fehler in meiner Funktion oben. Muss natürlich so lauten:

B(n) = S - (S - B(0)) * e^(-k * n)

So habe ich es auch von Anfang an interpretiert. Macht sonst auch nicht viel Sinn.

Zitat:
Wenn ich ein niedriges B(0) habe und ceteris paribus nur n um eins erhöhe, erhöht sich (B(n) stärker als wenn ich ein hohes B(0) habe.

Wenn ich ein hohes k wähle und ceteris paribus nur n um eins erhöhe erhöht sich B(n) stärker, als wenn ich ein niedriges k habe.

Ich fürchte, dass du diese Behauptung streng genommen beweisen müsstest. Vollständige Induktion bietet sich hier an.

Zitat:
-> damit haben B(0) und k ja beide einen Einfluss auf meine Änderungsrate zwischen B(n) und B(n+1).

Wenn es dir nur darum geht zu sagen, dass der Funktionsverlauf sowohl von B_0 als auch von k abhängt - das sieht man auf den ersten Blick und das musst du nicht beweisen. Wie die Abhängigkeit ist, das wird nicht direkt klar - das müsstest du dann wie gesagt beweisen.
el_viajero
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Anmeldungsdatum: 29.01.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 20:30:39    Titel:

frischell1990 hat folgendes geschrieben:
Ne, nicht den Kondensator nehmen sondern solche Funktionen allgemein behandeln. So wie hier ab seite 100:
http://books.google.co.uk/books?id=PQNfUDDoFgkC&pg=PA92&lpg=PA92&dq=steigende+s%C3%A4ttigungsfunktion&source=bl&ots=k5RT_lFC7_&sig=5D5_pTkkVy5PtfDA8Hx3D2bQR7E&hl=de&sa=X&ei=_cMBUJDjMIjL0QWSjo2_Bw&redir_esc=y#v=onepage&q=steigende%20s%C3%A4ttigungsfunktion&f=false
Vielleicht ist diese Quelle als Beschreibung der Eigenschaften der Funktion sogar ausreichend für deine Zwecke.
Zitat:
Hatte einen Fehler in meiner Funktion oben. Muss natürlich so lauten:

B(n) = S - (S - B(0)) * e^(-k * n)

So habe ich es auch von Anfang an interpretiert. Macht sonst auch nicht viel Sinn.

Zitat:
Wenn ich ein niedriges B(0) habe und ceteris paribus nur n um eins erhöhe, erhöht sich (B(n) stärker als wenn ich ein hohes B(0) habe.

Wenn ich ein hohes k wähle und ceteris paribus nur n um eins erhöhe erhöht sich B(n) stärker, als wenn ich ein niedriges k habe.

Ich fürchte, dass du diese Behauptung streng genommen beweisen müsstest. Vollständige Induktion bietet sich hier an.

Zitat:
-> damit haben B(0) und k ja beide einen Einfluss auf meine Änderungsrate zwischen B(n) und B(n+1).

Wenn es dir nur darum geht zu sagen, dass der Funktionsverlauf sowohl von B_0 als auch von k abhängt - das sieht man auf den ersten Blick und das musst du nicht beweisen. Wie die Abhängigkeit ist, das wird nicht direkt klar - das müsstest du dann wie gesagt beweisen.


Steigende Sättigungsfunktion mit degressivem Verlauf. Jetzt hat das Kind mal nen Namen, mit dem ich vielleicht Bücher finde. Super, danke dir! Die entsprechende Seite kann ich bei googlebooks leider nicht einsehen, aber werd mich die Tage mal in die Bib setzen und danach suchen.

Meinst du mit "Wie die Abhängigkeit ist" die Frage nach der "Stärke" der Abhängigkeit oder der "Richtung"?

Und meinst du ich kann dazu nicht einfach n Buch finden, dass mir diese Abhängigkeit angibt, ohne dass ich sie in meiner Arbeit herleiten muss? Zitieren geht einfacher und spart Platz Smile
frischell1990
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Anmeldungsdatum: 11.06.2011
Beiträge: 425

BeitragVerfasst am: 15 Jul 2012 - 00:12:46    Titel:

Ich habe mir mal deine Aussagen genauer angesehen:
Zitat:
Wenn ich ein niedriges B(0) habe und ceteris paribus nur n um eins erhöhe, erhöht sich (B(n) stärker als wenn ich ein hohes B(0) habe.

Du erklärst Dinge viel zu schwammig. B(n) steigt prozentual immer gleich schnell. Innerhalb einer Zeitkonstanten um 63.2% (ich benutze zum erklären die Zeitkonstante, auch wenn du sie in deiner Arbeit nicht benötigen wirst). Egal, wie dein Start- und Endwert sind, innerhalb einer Zeitkonstanten wird sich deine Funktion um 63.2% der Differenz von ihrem aktuellen Wert an den Endwert annähern. Wenn du also mit S=100 und B(0)=0 anfängst, ist B(1)=63.2.
Würdest du mit S=100 und B(0)=90 beginnen, dann ist B(1)=96.3, denn du steigst um 63.2% von der DIfferenz - und die ist 10. Sprich, im einen Fall bist du innerhalb eines Schrittes um 63.2 gestoegen, im anderen um 6.3. Absolut betrachtet hast du recht, dass die Funktion sich für höhere Startwerte langsamer dem Ziel annähert. Prozentual gesehen jedoch ist die Annäherung immer gleich. Nach der gleichen Zeit werden sich beide Funktionen prozentual immer gleich an den Endwert angenähert haben. Sprich B(n) erhöht sich vielleicht in absoluten Werten schneller für kleine Startwerte, aber das Verhältnis (S-B(0))/(B(n)-B(0)) wird für alle n gleich sein, egal wie du S und B(0) wählst.

Zitat:
Wenn ich ein hohes k wähle und ceteris paribus nur n um eins erhöhe erhöht sich B(n) stärker, als wenn ich ein niedriges k habe.

Klar, höherer Exponent bedingt schnelleres Wachstum. Trivial und muss nicht bewiesen werden.

Deine Erklärungen bisher leiden daruner, dass du nur ganz grob mit Begriffen wie Steigung, Stärke und Richtung umgehst. Das kannst du dir in einem Referat in der Schule erlauben, aber nicht in der Diplomarbeit. Du solltest dir die Eigenschaften der Sättigungsfunktion genau ansehen und begreifen, wie sie verläuft, welchen Einfluss die einzlenen Parameter haben und wie sie genau heissen. Und wenn du alles verstanden hast kannst du alles auch besser erklären (und nein, das ist keine Hexerei - das kann man mit einem vernünftigen Buch in ein paar Minuten begreifen). Ich denke, wenn du sauber formulierst, kannst du das von mir verlinkte Buch oder eine ähnliche Quelle als Referenz angeben und gut ist.
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