maximum einer menge

Neoxim · Full Member Anmeldungsdatum: 28.10.2006 Beiträge: 138

Hallo!

Ich versuche meine Kenntnisse in der Mengenlehre aufzufrischen und komme nicht weiter.

Gegeben ist eine Menge { n/(n+1), n ∈ ℕ} um man sollte entscheiden ob sie ein Maximum hat. Die Folge hat den Limes von 1, ist also beschränkt und das wäre (laut Wiki) auch das Maximum, wenn die Eins in der Menge liegen würde. Ich kann aber nicht entscheiden ob die 1 in der Menge liegt oder nicht. Wie mach ich das?

Gruß

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2572

Ich würde das evtl über einen Widerspruch machen.

Angenommen, die 1 liegt in der Menge, also:

Dann existiert ein n € IN für das n/(n+1) = 1 gilt:

Wie würde so ein n aussehen?

n/(n+1) = 1

n = (n+1)
0 = 1 -> es kann also so ein n € IN nicht geben.

MasterFrogify · Newbie Anmeldungsdatum: 24.04.2012 Beiträge: 22

Ich denke evtl. etwas zu quer, aber was mir so direkt auffällt:

1. Nur weil die Folge gegen 1 konvergiert ist nicht direkt klar, dass 1 auch das Maximum ist [vgl. (a_n) := 1 + 1/n ]. Du solltest also zunächst zeigen, dass 1 das Supremum der Menge ist und dass die Folge monoton wächst. Erst dann rechtfertigt sich die Überprüfung dass 1 ein Maximum sein könnte.

2. Aus 1. folgt dann mit dem Widerspruchsbeweis, dass 1 kein Maximum sein kann, da 1 nicht in der gegebenen Menge liegt.

3. Was ist denn "laut Wiki" überhaupt für eine Quellenangabe? Razz

Neoxim · Full Member Anmeldungsdatum: 28.10.2006 Beiträge: 138

Okay, danke. Das mit dem Widerspruchsbeweis ist einleuchtend.

@MasterFrogify:
http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%B6%C3%9Ftes_und_kleinstes_Element#Eigenschaften
^^

sranthrop · Full Member Anmeldungsdatum: 30.06.2005 Beiträge: 426

@Neoxim: MasterFrogify hat schon Recht, und auch durch sein "Gegenbeispiel" begründet, wieso der Konvergenznachweis alleine nicht genügt. Betrachte die Menge
{1+1/n | n€N}. Die Folge 1+1/n konvergiert zwar gegen 1, das Max. der Menge ist jedoch 2!
Was du also machen musst/kannst ist:
Zeige dass die Folge n/(n+1) monoton wächst und beschränkt ist (das ist ja nicht schwierig, muss aber erwähnt werden. Die kleinste obere Schranke dieser Folge ist gleichzeitig auch das Supremum deiner Menge (und auch der Grenzwert der Folge). Somit weißt du schonmal, wie das Sup deiner Menge aussieht. Nun musst du nur noch untersuchen, ob das Sup in Wahrheit ein Max ist, also zur Menge gehört. Und diese Frage wurde ja auch schon beantwortet.

LG =)