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Determinante einer Hesse Matrix und Extrema
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kilian88
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Anmeldungsdatum: 06.02.2012
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 17:56:51    Titel: Determinante einer Hesse Matrix und Extrema

Hallo Leute,

habe hier die Funktion: f(x,y)= x²+xy
Daraus sollen nun alle Extrema bestimmt werden.
Hierzu habe ich die Funktion einmal nach x und y abgeleitet, woraus ich
nach x abgeleitet: 2x+y
nach y abgeleitet: x
kriege.
Für Extrema muss der Gradient der Funktion gleich Null sein,
also ist x=0 , und somit auch y=0, heißt einzige Extremstelle ist bei xo=(0,0).
Jetzt muss ich nur noch wissen, ob dies ein Maximum,Mininum oder ein Sattelpunkt ist.
Dazu berechne ich die Hesse-Matrix
|2 1|
|1 0|
und ab hier komme ich nicht mehr weiter :S
Wie kriege ich nun raus, was das für ein Extrema ist?


Gruss Kilian
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 18:24:17    Titel:

Hallo
Deine Überlegungen sind soweit richtig, also ist (0,0) eine mögliche Extremstelle. Hessematrix ist auch richtig und sogar unabhängig von x und y.
Also berechne für die Matrix das charakteritische Polynom und davon die Nullstellen. Diese sind entscheidend für die Einordnung der mög. Extremstelle.

gruß
TheBozz-mismo
kilian88
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Anmeldungsdatum: 06.02.2012
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 18:31:14    Titel:

Naja,

habe als Nst: 1+/- Wurzel(2) raus :S ?
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 18:37:55    Titel:

Daraus schließt du, dass die Matrix indefinit ist und dass an dieser Stelle ein Sattelpunkt vorliegt.

Gruß
TheBozz-mismo
kilian88
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Anmeldungsdatum: 06.02.2012
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 19:25:18    Titel:

Ah ok ,Danke Smile

Nur noch 2 Fragen:

1.)
Wenn nur positive Nst rauskommen habe ich ein Maximum?

2.)
Etwas allg.:
Wenn man unter der Wurzel etwas Negatives rausbekommt, hat man dann gar keine Nst oder muss man das dann mit komplexen Zahlen machen?
Nalien
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Anmeldungsdatum: 21.05.2010
Beiträge: 611

BeitragVerfasst am: 21 Jul 2012 - 22:17:19    Titel:

kilian88 hat folgendes geschrieben:
Ah ok ,Danke Smile

Nur noch 2 Fragen:

1.)
Wenn nur positive Nst rauskommen habe ich ein Maximum?

2.)
Etwas allg.:
Wenn man unter der Wurzel etwas Negatives rausbekommt, hat man dann gar keine Nst oder muss man das dann mit komplexen Zahlen machen?


1.) Dann hast du ein Minimum.
Oder genauer: Hat die Hessematrix im Punkt x_0 nur positive Eigenwerte so ist x_0 ein Minimum der Funktion.
edit: Dies ist voellig analog zum eindimensionalen Fall. f'(x) = 0 und f''(x) > 0 => x ist Minimum. f' ist hierbei die Jacobimatrix oder der Gradient und f'' deine Hessematrix.

2.) Satz von Schwarz (glaube ich) besagt, dass f_xy = f_yx unter gegebenen Vorraussetzungen, dies fuehrt insbesondere dazu, dass die Hessematrix symmetrisch ist. Eine besondere Eigenschaft symmetrischer Matrizen ist, dass saemtliche Eigenwerte reell sind und somit insbesondere nicht komplex sind.
Oder etwas klarer formuliert: Das charakteristische Polynom der Hessematrix wird keine "negativen Wurzeln" produzieren.
kilian88
Newbie
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Anmeldungsdatum: 06.02.2012
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Jul 2012 - 14:40:55    Titel:

Vielen Dank für die Hilfe Smile
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