Linienintegral Aufgabe

arni90 · Newbie Anmeldungsdatum: 29.07.2012 Beiträge: 8

Hallo Leute,

ich habe absolut keine Idee, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
[img]http://s1.directupload.net/file/d/2966/gicu7mnr_jpg.htm[/img]

Ich weis, wie man beim berechnen von Linienintegralen vorgehen muss und die meisten Aufgaben sind mir bisher auch gelungen. An diesem Punkt komme ich jetzt leider nicht weiter.

Mein Problem:
Ich weis nicht, wie ich das Vektorfeld F=... interpretieren soll, um das ganze Integral dann nurnoch von einer Variablen abhängig zu machen.

Sprich:
wie komme ich auf x und y?
was ist Fx dx, was ist Fy dy?

Das brauche ich ja, um dann x=dx/dr -> dx = x*dr ... und so weiter und sofort.

Wäre nett, wenn sich das mal jemand anguckt.

Viele Grüße,
arni

mr.whoopee · Newbie Anmeldungsdatum: 01.04.2010 Beiträge: 24

http://de.wikipedia.org/wiki/Kurvenintegral

Seyphedias · Verfasst am: 21 Aug 2012 - 10:19:40 Titel:

Bei Kurven und linienintegralen brauchst du natürlich erstmal eine Kurve C in parameterform und ein Vektor-bzw skalarfeld.

dann musst du den wert des Vektor-bzw Skalarfeldes an jedem Kurvenpunkt auswerden. Das kannst du einfach machen in dem du für x und y des vektorfeldes einfach die entsprechenden vorschriften der kurve einsetzt.

bsp:

Vektorfeld F(x,y)= (x-y, -y)T

Kurve: C(t)= (t,-t²)T für t[0;1]

dann ist F(C(t))=(t-t²,t²)T damit hast du an JEDER stelle der Kurve das Vektorfeld ausgewertet.

nun zur schreibweise:

das Integral über C über F(x,y) dC ist ja nun nicht so einfach zu bestimmen. Du weißt ja auch gar nicht was du wie integrieren sollst.

deswegen macht man folgendes: anstatt x und y setzt du nun die Kurve in dein Vektorfeld ein. das hat den vorteil, dass du nur noch eine variable hast nämlich t zu dem ändern sich die grenzen des integrals in den definitonsbereich der Kurve (in diesem fall von 0 bis 1)

Das nennt man die Substitutionsregel.

Formal aufgeschrieben ist das:

integral über C über F(x,y) dC = integral über definitionsbereich von C über F(C(t))*C'(t) dt

Durch Koordinatentransformation bekommst du x und y.

Polarkoordinaten: x= r*cos(x), y= r*sin(x)

dann hast du ja das integral über C das ist offenbar ein Kreis und hat die Parameterdarstellung :

x= r*cos(t)
y=r*sin(t) für t=0..2pi (pi/2 wäre ja nur die halbe Kurve!)

mit der Formel kannst du jetzt integrieren:

integral über C über F(x,y) dr (wie es ist deiner aufgabe ist).

ist integral von 0 bis 2Pi über F(g(t))*g'(t) dt

Das integral ist wegabhängig, weil kein Potential existiert.
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Das Leben ist zu kurz zum denken... oder denke ich das nur?