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Suche Lösung - Lösungsmethode für nicht lineare Gleichungen
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Suche Lösung - Lösungsmethode für nicht lineare Gleichungen
 
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wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 10:46:01    Titel: Suche Lösung - Lösungsmethode für nicht lineare Gleichungen

Hallo,

ich habe das GLS:

x = a*sin(phi) + g*cos(phi)
y = a*cos(phi) + g*sin(phi)

ich möchte a und phi bestimmen.
Alle anderen Werte sind bekannt.

Ist das überhaupt lösbar?

W.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23012

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 11:42:37    Titel:

Na dann spielen wir doch erst einmal ein bisschen: Seien S:=sin(phi)+cos(phi) und D:=sin(phi)-cos(phi). Dann geht dein Gleichungssystem über in:

x+y = (a+g) * S
x-y = (a-g) * D
(S+D)^2 + (S-D)^2 = 4 = 2(S^2 + D^2).

Also quadrieren wie die ersten beiden Gleichungen um die dritte Einsetzen zu können:

(x+y)^2 = (a+g)^2 * S^2
(x-y)^2 = (a-g)^2 * (2 - S^2).


Mit X = a+g erhalten wir

c_1 = X^2 * S^2
c_2 = (X-2g)^2 * (2 - S^2).

Die erste Gleichung nach S^2 umgestellt und in die zweite eingesetzt, liefert

c_2 = (X-2g)^2 * (2 - c_1/X^2) bzw. nach Multiplizieren mit X^2

c_2 * X^2= (X-2g)^2 * (2X^2 - c_1).

<==>

2 X^4 -8g^2 X^3 + (8g^2 - c_1 - c_2) * X^2 + 4gc_1 X + 4g^2c_1 = 0.


Das könnte man noch algebraisch auflösen (worauf ich aktuell keine Lust habe. Dann hätte man schlussendlich a und sin(phi) algebraische Ausdrücke. Dass man dann noch einen arcsin für das phi braucht, ist allerdings schon von vorn herein klar gewesen...

Cyrix
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 15:09:20    Titel:

Hallo cyrix42,

vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Deine Umformungen und Substitutionen sind nachvollziehbar jedoch irgendwie dubios.

1.
bei der Gleichung:
2 X^4 -8g^2 X^3 + (8g^2 - c_1 - c_2) * X^2 + 4gc_1 X + 4g^2c_1 = 0
handelt es sich um eine Gleichung 4. Grades die sich nicht algebraisch lösen lässt. Ich kenne zumindest kein Verfahren dieser Art.

2.
In der o.g. Gleichung kommt neben c_2 auch noch c_1 vor.
c_1 enthällt S und dies wiederum enthält den gesuchten Winkel phi. Somit sind in dieser Gleichung immer noch a (in X) und phi enthalten, die beiden Unbekannten, die ich bestimmen möchte.

3.
Ich habe letztendlich die o.g. Gleichung in Derive eingegeben um eine Lösung (auch komplex) zu suchen. Leider ohne Erfolg.

Schade, leider hilft mir dein Beitrag nicht wirklich weiter.

Trotzdem Danke.

Oder hat jemand eine andere Idee ?

W.


Zuletzt bearbeitet von wsm am 31 Jul 2012 - 16:30:35, insgesamt einmal bearbeitet
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 636

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 15:55:17    Titel:

Blödsinn entfernt.


Zuletzt bearbeitet von Nofeys am 31 Jul 2012 - 16:04:53, insgesamt einmal bearbeitet
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 16:01:39    Titel:

oh,

mit diesem Vorschlag habe ich auch Probleme.

Wenn das Teilen korrekt ist und

x = 5 + 3 sowie
y = 3 + 5 dann folgt nach deinem Vorschlag:

x/y = 5/3 + 3/5 = 1,666 + 0,6 = 2,666

aber es ist doch 8/8 = 1

W.
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 636

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 16:03:17    Titel:

Ja klar, das war totaler quatsch. Keine Ahnung, wie ich darauf gekommen bin. Ich überlege nochmal neu.
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 16:07:39    Titel:

Aber wenn es um besondere Rechenmethoden geht:

Hier kann man die 6 im Zähler und Nenner kürzen: 64/16 = 4/1 = 4

Kennst du die Regel?

W.
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 17:03:02    Titel:

Um die grundsätzliche Lösbarkeit zu prüfen, habe ich die Gleichungen reduziert auf:

0 = a·SIN(phi) + 10·COS(phi) und
0 = a·COS(phi) + 10·SIN(phi)

Derive kann das nicht lösen.

Dabei gibt es eine Lösung für phi=pi/4 weil sin)phi)=cos(phi) und a=-10.

Dann habe ich einen 3-D-Graphen der (a-phi)-Ebenen gezeichnet der diese Lösung sowie auch andere Lösungen zeigt.

Also muss es irgendwie gehen.

W.
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 17:23:18    Titel:

Das ist nur ein Sonderfall.

Ich suche die allgemeine Lösung (siehe erster Beitrag) mit den ebenfalls bekannten Größen x und y.

W.
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 636

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 17:23:51    Titel:

Ja, ich habe meinen Beitrag auch wieder entfernt. Mir ist im Nachhinein klar geworden, dass dich das wohl eher nicht interessiert.
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