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Ebenen-Berechnung (mittels Schnittwinkel)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ebenen-Berechnung (mittels Schnittwinkel)
 
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fradafo
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 11:40:32    Titel: Ebenen-Berechnung (mittels Schnittwinkel)

Hallo zusammen,

ich habe zwei sich schneidende Ebenen (e, e') im R^3 deren Schnittwinkel (alpha) berechnet werden kann.

Jetzt zu meinem Vorhaben.
Wenn ich jedoch nur den Winkel (alpha) und eine der Ebenen (e) habe, wie komme ich dann auf die andere Ebene (e')?

Im folgenden Bild ist es nochmal genauer zu erkennen was ich meine.
p2 und p3 sind zwei Punkte die sich auf beiden Ebenen befinden und die Drehachse definieren.

cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23272

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 11:48:06    Titel:

Hallo!

Nimm dir als Hilfsebene E eine, die zu e und der Drehachse p2p3 senkrecht steht. Dann hast du das Problem auf den zwei-dimensionalen Fall zurückgeführt, da in der Projektion von e und e' auf E die Schnittwinkel zwischen den so erhaltenen Geraden gleich der zwischen den Ebenen ist.

Cyrix
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 31 Jul 2012 - 15:15:44    Titel:

Dafür gibt es keine eindeutige Lösung.

Du findest aber alle Lösungen indem du zum Normalenvektor n1 von (e1) mit der Gleichung für die Winkel zwischen zwei Vektoren einen zweiten Normalenvektor n2 bestimmst. Dabei wirst du Lösungen mit einem Parameter finden. Zu diesem so bestimmten Normalevektor kannst du dann die Ebene bestimmen.

W.
fradafo
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2012 - 10:11:13    Titel:

Danke für die Hinweise.

Aber könntet ihr dies bitte in Formeln ausdrücken, da mein algebraisches Wissen etwas eingerostet ist.
Damit fällt es mir vielleicht leichter den Ablauf bzw. die Herangehensweise zu verstehen.
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2012 - 10:19:40    Titel:

Dann schreibe bitte mal die Gleichung der bekannten Ebene auf.
Bestimme dazu auch bitte den Normalenvektor, dann sehen wir weiter.
fradafo
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 05 Aug 2012 - 10:40:33    Titel:

Ich muss vielleicht dazu sagen, dass ich mein Vorhaben in einem kleinen Java-Programm umzusetzen versuche.

Um den Schnittwinkel der Ebenen (e, e')zu berechnen verwende ich folgende Formel:
n - Normalenvektor
Code:

   arccos = (( <ne,ne'> ) / ( |ne|*|ne'| )) * 180/PI


Wie mache ich es aber nun wenn der Winkel und eine Ebene gegeben sind?[/quote]
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 05 Aug 2012 - 10:50:29    Titel:

Die Normalenvektoren haben die Länge 1.

Damit ist (|ne|*|ne'|)=1 uns es bleibt <ne,ne'>=cos(phi) ...(in rad).

Schreibe dir das Skalarprodukt <ne,ne'> auf. Du kannst zwei der drei Koordinaten von ne' frei wählen (z.B. 1) und dann die 3. Koordinate ausrechnen. Daraus erhältst du den Normalenvektor der neuen Ebene.

Es gib unendlich viele Lösungen, wobei ein bekannter Punkt von E' eine sinnvole Einschränkung wäre.
fradafo
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 05 Aug 2012 - 16:16:17    Titel:

Zitat:
Du kannst zwei der drei Koordinaten von ne' frei wählen (z.B. 1) und dann die 3. Koordinate ausrechnen. Daraus erhältst du den Normalenvektor der neuen Ebene.

Ich steh irgendwie auf dem Schlauch...
Warum kann ich 2 Koordinaten des Normalenvektors von e' frei wählen und wie soll das dann ausschauen?

Zitat:

Es gib unendlich viele Lösungen, wobei ein bekannter Punkt von E' eine sinnvole Einschränkung wäre.

Könnte ich hierfür einen der Punkte nehmen die auf beiden Ebenen liegen, also p2 oder p3 ?
wsm
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 05 Aug 2012 - 18:28:41    Titel:

An dieser Stelle ist es notwendig, dass du ein Beispiel von Hand durchrechnest.
Dann erhältst du eine Geleichung mit den drei unbekannten Koordinaten des gesuchten Vektors. Also zwei Koordinaten geschickt frei wählen, z.B. 0 und 1 und nach der 3. Koordinate auflösen.

Den Lösungsweg dann mal hier einstellen.

Eine Lösung werde ich dir nicht machen !

W.
fradafo
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Anmeldungsdatum: 31.07.2012
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 07 Aug 2012 - 19:30:44    Titel:

Ich hab es jetzt mal händisch an einem Beispiel probiert.
Und tatsächlich (mit Probe) funktioniert es.

Meine umgestellte Formel dazu lautet:
ne'[0] = 1
ne'[1] = 0

ne'[2] = (arccos - ne[0]) / ne[2]

Aber warum kann man einfach zwei Koordinaten frei wählen? Wieso funktioniert das?
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