Integral existiert oder nicht?

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Hallo Forum Smile

Warum sagt man, dass beispielsweise [; \int_{-\infty}^\infty x dx ;] nicht existiert?
Ich könnte doch schreiben:
[; lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a x dx = lim_{a \to \infty} F(a)-F(-a) = lim_{a \to \infty} 0 ;] (weil F gerade ist). Und 0 hängt doch garnicht von a ab. Kann mir jemand erklären, warum man dann trotzdem sagt, das Integral existiere nicht?

Gruß Guppi

frischell1990 · Full Member Anmeldungsdatum: 11.06.2011 Beiträge: 425

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Danke, aber das hilft mir glaube ich nicht weiter, weil dieser Ausdruck mit [; -\infty+\infty ;] nicht definiert ist oder?

Edit: Wolfram Alpha sagt dazu folgendes:

[; lim_{a\to\infty} \int_{-a}^axdx = 0 ;]
Gleichzeitig jedoch
[;\int_{-\infty}^\infty xdx ;] does not converge.

Also eine andere Frage, da meine Grenzwertbetrachtung ja offensichtlich richtig war:
Wo liegt der Unterschied in den beiden Darstellungen?

Cheater! · Verfasst am: 11 Aug 2012 - 23:44:52 Titel:

Das gleiche Problem hat man, wenn man

Integral[-1 bis 1] 1/x dx

betrachtet.

Da 1/x punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist das Integral eigentlich gleich 0, tatsächlich aber existiert es nicht.

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Kann man sich das denn irgendwie klar machen? Also das hat doch sicher irgendeine Begründung?

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Habe das gleiche Problem jetzt in einem Analysis Skript gefunden. Es scheint wohl Definitionssache zu sein.

jh8979 · Full Member Anmeldungsdatum: 04.07.2012 Beiträge: 353

Die Begruendung ist, dass der Limes nicht eindeutig ist. Du integrierst von [-a,a] und sendest a -> unendlich. Aber man koennte ja auch [-2a,a] als Grenzen nehmen... oder andere.. und da nicht immer dasselbe rauskommt, existiert des Integral mit unendlichen Grenzen nicht.

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Ah, das hingegen leuchtet wirklich ein. Danke. Dann kann ich jetzt beruhigt schlafen Very Happy

.
Das hat mich schon länger beschäftigt jetzt.

Seyphedias · Verfasst am: 21 Aug 2012 - 11:25:52 Titel:

Nein, die Begrüdung ist, dass Die Riemannsche Summe, bzw das Riemann Integral einen Funktionswert an der stelle x0 benötigt.

1/x dx ist genau deshalb nicht (Riemann-)Integrierbar, weil der Funktionswert an der Stelle 0 nicht existiert.

andere Funktionen mit lücken oder ähnlichem sind (uneigentlich) Integrierbar.

bsp. e^x von -unendlich bis 0
macht man ja auch mit der Grenzwertbetrachtung lim x-> -unendlich, das integral existiert, weil auch der Funktionswert von e^-unendlich existiert.

das ist dann nämlich genau die Teleskopsumme!!
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Das Leben ist zu kurz zum denken... oder denke ich das nur?

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Hi Seyphedias,
danke für deine Antwort.
Ursprünglich ging es nicht um das Integral von 1/x dx, sondern um das Integral von x zwischen -unendlich und +unendlich.
1/x wurde nur zwischendurch von Cheater eingeworfen.

Vielleicht liest du nochmal den Beitrag durch.
Ich fand die Begründung von über mir nämlich recht schlüssig was das Problem mit meinem Integral betraf.

sranthrop · Full Member Anmeldungsdatum: 30.06.2005 Beiträge: 424

und das war auch die "richtige" Begründung.

Seyphedias' Begründung dagegen hinkt, weil die Existenz des Funktionswertes des Integranden an den Integrationsgrenzen nicht ausreicht. Die Funktion 1/x kann im Im Nullpunkt auch definieren wenn ich will, sagen wir f(x) = 1/x für x ungleich 0 und f(0):=0. Dennoch existiert das Integral nicht.
Seyphedias hat aber in folgendem Sinne Recht: Lässt sich der Integrand in die Integrationsgrenzen stetig fortsetzen, und ist der Integrationsbereich kompakt, so existiert auch das Integral. Das Funktioniert bei 1/x nicht, denn 1/x für x->0+ ist +oo (und 1/x für x->0- ist -oo), selbst das Integral von 1 bis oo über 1/x ist unendlich.
Die e-Funktion ist da etwas angenehmer, sie liefert z.b. beim Integral von -oo bis 0 über e^x ein existierendes Integral.
Du siehst also: Die Existenz der Funktionswerte einer Funktion in den Integrationsgrenzen (die man, ganz nebenbei bemerkt, immer erreicht!!) sagt nichts über die Konvergenz des Integrals, wohl aber die stetige Fortsetzbarkeit auf kompakten Integrationsbereichen. Deshalb ist jh8979s Begründung die einzig sinnvolle (ich sage bewusst nicht "richtig", da das immer Konventionssache ist).
Übrigens: Grenzwerte werden in der Mathematik immer über Folgen definiert. Ein Grenzwert lim x-> a f(x) bedeutet immer, dass der Grenzwert für JEDE Folge, also für jede Art und Weise, sich dem a anzunähern, existiert, und dort immer dasselbe herauskommt. Bei deinem Integralbeispiel ist das eben nicht gesichert, wie jh8979 so schön geschildert hat.
LG

Seyphedias · Verfasst am: 21 Aug 2012 - 16:31:41 Titel:

Heyho,

die Grenzwertbetrachtung ist duch l'Hospital eindeutig festgelegt. Was nicht näher definiert ist, ist eine größenordnung von "unendlichkeitszahlen". demnach müsste man eine folge bzw reihe untersuchen und eine fallunterscheidung durchführen.
Wahrscheinlich habe ich mich etwas eigenartig ausgedrückt Very Happy

mein Fehler.

1/x dx ist natürlich ein sehr blödes beispiel da der ln(x) ja nur für positive x definiert ist.

sranthrop hat natürlich recht und ich habe den kompakten bereich vergessen..notwendig ist der Funktionswert, aber offenbar nicht hinreichend !
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jh8979 · Full Member Anmeldungsdatum: 04.07.2012 Beiträge: 353

Der Funktionswert an einziger Stelle ist relativ egal, da dass eine Menge vom Mass (hab kein "sz") null ist. Bei der Riemannsumme muss man natuerlich vorsichtig sein wie man sich dieser Stelle naehert, aber eine vorsichtige Behandlung liefert auch da das richtige Ergebnis.

z.B. ist die Funktion 1/\sqrt{x} von 0 bis 1 integrierbar, auch wenn die Funktion bei x=0 nicht definiert ist (bzw man sie definieren kann wie man gern will, wenn man auf Stetigkeit nicht bedcht ist... alles liefert dasselbe Integral).

Seyphedias · Verfasst am: 22 Aug 2012 - 06:34:38 Titel:

Das liegt aber dann an der Stammfunktion. Oder etwa nicht? Die ist ja Wohldefiniert für x aus R+

Bei unserem Paradebeispiel 1/x ist die Stammfunktion, der ln, ja auch nur für positive x aus R definiert.

wenn du das integral von -1 bis 1 über 1/sqrt(x) dx bestimmst bekommst du bei negativen x probleme. bzw. du bestimmst ein integral über dem Körper der komplexen Zahlen.
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jh8979 · Full Member Anmeldungsdatum: 04.07.2012 Beiträge: 353

Mit gings nur darum dass 1/\sqrt{x} bei x=0 auch gegen unendlich divergiert und das Intergral von x=0 bis zu einem endlichen Wert trotzdem existiert.

Ich glaub wir stimmen in allen Einschaetzungen ueberein. Smile

jh8979 · Full Member Anmeldungsdatum: 04.07.2012 Beiträge: 353

@Guppi12

Deine urspruengliche Idee, dass man gleiche Grenzen nimmt und sich positive und negative Werte wegheben, wird uebrigens auch manchmal verwendet, auch wenn das Integral als solches wie jetzt schon mehrmals gesagt nicht existiert:

siehe z.B Cauchyscher Hauptwert

aber das ist bisschen OT.

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Ah, das ist ja interessant. Bin gerade dabei, das durchzulesen.

Vielen Dank auch für die Antworten, die noch gekommen sind.

Lg Wink

Seyphedias · Verfasst am: 22 Aug 2012 - 09:26:59 Titel:

Hi Gruppi,

achso, jetzt verstehe ich erst was der kaudalwelsch da ganz oben zu bedeuten hat Very Happy

bei mir stehen da nur sonderbare zeichen... Very Happy

also es geht also um das Integral von -oo bis oo von x dx Very Happy

aber dabei ist ja klar, dass das Integral nicht existiert. Unendlich ist ja nicht eindeutig auf eine größe festgelegt. demnach hast du bei der identiät 2 Dreicke mit einer unendlichen höhe.

oder verstehe ich jetzt wieder was falsch? Very Happy

btw. ich versuche das mal anders zu machen.

ich stelle die identität y=f(x)=x mal als parameterkurve da:

das wäre ja x für x und x für y. x aus -oo;oo

wenn ich jetzt eine koordinatentransformation durchführe in Polarkoordinaten:

dann ist x=cos(phi) für phi von -oo bis oo

Integrierst du die kurve jetzt springt sin/cos für unendlich ja immer zwischen -1 und +1 und daraus folgt divergenz.

oder ist irgendein schritt verkehrt?

demnach stimmt ja alles andere, was wir über die integrale 1/x dx oder sonstiges gesagt haben Very Happy

Guppi12 · Newbie Anmeldungsdatum: 11.08.2012 Beiträge: 20

Für mich war das eben nicht so ganz klar, warum sich die beiden Dreiecke nicht gegenseitig aufheben. Inzwischen allerdings schon Wink

Was den Kauderwelch betrifft:
In diesem Forum ist leider kein LaTex implementiert.
Deswegen haben viele hier im Forum das Firefox Addon Greasemonkey installiert. Wie das genau funktioniert und ob man in Greasemonkey noch eine Erweiterung oder so braucht, weiß ich nicht mehr, weil das bei mir schon zu lange her ist. Ich glaube man muss dann für Greasemonkey noch das Tex the world script runterladen oder so.

Lg

Seyphedias · Verfasst am: 22 Aug 2012 - 09:45:27 Titel:

Danke!

Aber schön, wenn du alles soweit verstanden hast! Smile