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Integral existiert oder nicht?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Integral existiert oder nicht?
 
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Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2012 - 21:27:38    Titel: Integral existiert oder nicht?

Hallo Forum Smile
Warum sagt man, dass beispielsweise [; \int_{-\infty}^\infty x dx ;] nicht existiert?
Ich könnte doch schreiben:
[; lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a x dx = lim_{a \to \infty} F(a)-F(-a) = lim_{a \to \infty} 0 ;] (weil F gerade ist). Und 0 hängt doch garnicht von a ab. Kann mir jemand erklären, warum man dann trotzdem sagt, das Integral existiere nicht?

Gruß Guppi
frischell1990
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Anmeldungsdatum: 11.06.2011
Beiträge: 425

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2012 - 22:52:32    Titel: Re: Integral existiert oder nicht?

Guppi12 hat folgendes geschrieben:
Hallo Forum Smile
Warum sagt man, dass beispielsweise [; \int_{-\infty}^\infty x dx ;] nicht existiert?
Ich könnte doch schreiben:
[; lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a x dx = lim_{a \to \infty} F(a)-F(-a) = lim_{a \to \infty} 0 ;] (weil F gerade ist). Und 0 hängt doch garnicht von a ab. Kann mir jemand erklären, warum man dann trotzdem sagt, das Integral existiere nicht?

Gruß Guppi


[; \int_{-\infty}^\infty x dx = \int_{-\infty}^0 x dx + \int_{0}^{\infty} x dx;]
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2012 - 23:12:50    Titel:

Danke, aber das hilft mir glaube ich nicht weiter, weil dieser Ausdruck mit [; -\infty+\infty ;] nicht definiert ist oder?

Edit: Wolfram Alpha sagt dazu folgendes:

[; lim_{a\to\infty} \int_{-a}^axdx = 0 ;]
Gleichzeitig jedoch
[;\int_{-\infty}^\infty xdx ;] does not converge.

Also eine andere Frage, da meine Grenzwertbetrachtung ja offensichtlich richtig war:
Wo liegt der Unterschied in den beiden Darstellungen?
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 4856
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2012 - 23:44:52    Titel:

Das gleiche Problem hat man, wenn man

Integral[-1 bis 1] 1/x dx

betrachtet.

Da 1/x punktsymmetrisch zum Ursprung ist, ist das Integral eigentlich gleich 0, tatsächlich aber existiert es nicht.
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 11 Aug 2012 - 23:49:11    Titel:

Kann man sich das denn irgendwie klar machen? Also das hat doch sicher irgendeine Begründung?
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2012 - 00:12:40    Titel:

Habe das gleiche Problem jetzt in einem Analysis Skript gefunden. Es scheint wohl Definitionssache zu sein.
Zitat:

[; \int_{-\infty}^\infty f(x) dx ;] existiert, wenn sowohl [;\int_{-\infty}^a f(x) dx;], als auch [; \int_a^\infty f(x) dx ;] existieren.


Damit war dann doch der Tipp von frischell1990 der entscheidende. Tut mir Leid, dass ich das nicht gewürdigt habe Wink

Ich finde das zwar ziemlich unbefriedigend, dass das so definiert ist ohne eine logische Begründung(zumindest in dem Skript), aber das muss man wohl akzeptieren.
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 1182

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2012 - 00:16:21    Titel:

Die Begruendung ist, dass der Limes nicht eindeutig ist. Du integrierst von [-a,a] und sendest a -> unendlich. Aber man koennte ja auch [-2a,a] als Grenzen nehmen... oder andere.. und da nicht immer dasselbe rauskommt, existiert des Integral mit unendlichen Grenzen nicht.
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2012 - 00:19:02    Titel:

Ah, das hingegen leuchtet wirklich ein. Danke. Dann kann ich jetzt beruhigt schlafen Very Happy.
Das hat mich schon länger beschäftigt jetzt.
Seyphedias
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Anmeldungsdatum: 21.08.2012
Beiträge: 207
Wohnort: Ost-Westfalen

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 11:25:52    Titel:

Nein, die Begrüdung ist, dass Die Riemannsche Summe, bzw das Riemann Integral einen Funktionswert an der stelle x0 benötigt.


1/x dx ist genau deshalb nicht (Riemann-)Integrierbar, weil der Funktionswert an der Stelle 0 nicht existiert.

andere Funktionen mit lücken oder ähnlichem sind (uneigentlich) Integrierbar.

bsp. e^x von -unendlich bis 0
macht man ja auch mit der Grenzwertbetrachtung lim x-> -unendlich, das integral existiert, weil auch der Funktionswert von e^-unendlich existiert.

das ist dann nämlich genau die Teleskopsumme!!
Guppi12
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Anmeldungsdatum: 11.08.2012
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 11:42:59    Titel:

Hi Seyphedias,
danke für deine Antwort.
Ursprünglich ging es nicht um das Integral von 1/x dx, sondern um das Integral von x zwischen -unendlich und +unendlich.
1/x wurde nur zwischendurch von Cheater eingeworfen.

Vielleicht liest du nochmal den Beitrag durch.
Ich fand die Begründung von über mir nämlich recht schlüssig was das Problem mit meinem Integral betraf.
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