Vektorraumtheorie

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 19:37:37 Titel: Vektorraumtheorie

ich soll untersuchen, ob V = IR^2 auch dann ein vektorraum wäre, wenn man die skalarmultiplikation wie folgt definieren würde:

dazu hat er eine liste gemacht mit 10 gesetzen, die gültig sein müssen, damit ein vektorraum vorliegt. soll ich das jetzt diese 10 gesetze einzeln überprüfen, oder wie darf man diese aufgabe verstehen?

5 gesetze beziehen sich auf die addition und 5 gesetze auf die skalarmultiplikation. muss ich alle 10 machen oder reichen vielleicht auch die 5 für die multiplikation? komisches zeug irgendwie... ich fang jetzt mal damit an, aber ich hoffe, dass mir da mal jemand ein bisschen auf die sprünge helfen kann

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 19:49:48 Titel:

also beim distributivgesetz ist es jetzt gescheitert, das scheint nicht mehr zu gelten.
kann ich daraus dann ableiten, dass IR^2 kein vektorraum wäre, wenn man das so definieren würde?

und gleich noch sowas:
ist die menge der 2x2 matrizen mit der üblichen addition und skalarmultiplikation ein vektorraum?

soll ich da jetzt wieder alle 10 gesetze überprüfen, oder was soll ich da machen?

frischell1990 · Full Member Anmeldungsdatum: 11.06.2011 Beiträge: 425

LKurze Frage, kurze Antwort: Es müssen alle erfüllt sein.

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 19:55:58 Titel:

ok, ich fange jetzt mal an. worauf läuft es denn hinaus? sind sie alle erfüllt, oder wird es störungen geben?

Nalien · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.05.2010 Beiträge: 608

Du hast doch schon gezeigt, dass Distributivgesetz nicht greift.

Falls den Beweis richtig war, bist du hier mit fertig.

Generell:

Weise alle Forderungen nach um die Richtigkeit zu beweisen.
Widerlege eine einzige Forderung um das Gegenteil zu erreichen.

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 20:07:05 Titel:

ja, die erste aufgabe hab ich geschafft. jetzt bin ich ja bei der nächsten mit den 2x2 matrizen.
die ersten beiden gesetze sind aufgegangen. jetzt bin ich beim dritten. ich würde halt mal gerne wissen, was das endergebnis ist, also ob jetzt ein vektorraum vorliegt oder nicht, damit ich gleich merke, falls ich mich mal verrechnet hab.

frischell1990 · Full Member Anmeldungsdatum: 11.06.2011 Beiträge: 425

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 20:23:38 Titel:

ich hab die ersten 7 gemacht, bis jetzt isses immer aufgegangen.

EDIT: so, sind alle 10 aufgegangen, es scheint also ein vektorraum zu sein. stimmt das jetzt? ich weiss gar nicht, was mir dieses scheiss thema bringen soll, ich kann mir da gar nix drunter vorstellen, deswegen würde ich mich echt freuen, wenn mir mal einer sagen kann, ob das jetzt stimmt und jetzt muss ich noch so ein ding machen:

beweise, dass die menge

der linearen Funktionen ein vektorraum ist, wenn man addition und skalarmultiplikation folgendermaßen definiert:

mann, muss ich ja jetzt etwa wieder alle 10 dinger machen, oder was?

Nalien · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.05.2010 Beiträge: 608

Ja musst du.

Was es dir bringen soll?

Es soll dich mit den mathematischen Methoden vertraut machen.

Es gefaellt dir nicht? Warum studierst du es?

Es sind Uebungen die dir (auch wenn fuer dich jetzt nicht erkennbar) auf Dauer sehr viel bringen werden.
Du musst sie natuerlich nicht machen um deine Klausuren zu bestehen, was vielen Leuten wohl auch zu reichen scheint.

Ich glaube nicht, dass dir hier jemand die Bedingungen vorrechnen moechte, wenn es dich wirklich interessiert kannst du deine Loesungsversuche posten und dann wird gerne jemand drueber schauen.

silentKewtie · Verfasst am: 15 Aug 2012 - 21:15:01 Titel:

wie kommst du auf studieren? das sind meine hausaufgaben.

ich sitz ja schon dran.

hier ist meine Lösung von den beiden ersten aufgaben:

http://www.uploadarea.de/upload/h67h9zyvwbdlgoymhm2gqhqsx.html

ob es wohl richtig ist?

silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 10:49:18 Titel:

die hausaufgaben von vorgestern waren alle richtig. aber jetzt kann ich's wirklich nicht mehr, hier brauch ich jetzt mal unbedingt hilfe.

jetzt sind die vektoren auf einmal nämlich gar keine vektoren mehr, wie ich das kenne, sondern die vektoren sind auf einmal funktionen. hier ist die erste aufgabe:

ich hab als antwort folgendes aufgeschrieben:

da hat er gesagt, das wäre kein beweis, weil ich nichts gerechnet hätte. der beweis ginge so:

wenn das stimmt, dann verstehe ich das aber nicht, denn so rechnet er ja eigentlich nur, dass

ist.

aber um zu zeigen, dass kein vektorraum vorliegt, muss man doch, dachte ich, zeigen, dass gilt:

und das hab ich ja gemacht, denn sin(2x)+sin(3x) kann ich nicht weiter vereinfachen, ich kriege es nicht auf die form sin(a*x).
aber da hat er gesagt, das wäre kein beweis, weil ich hätte ja nichts gerechnet.

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 11:00:26 Titel:

Nuja, du müsstest schon zeigen, dass es nicht geht; und nicht, dass du es nicht hinbekommen hast. Wink

Sein "Beweis" ist aber um keinen Deut besser...

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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 11:20:24 Titel:

ja aber wie soll ich es denn zeigen?

wenn ich sin(ax)+sin(bx) in den taschenrechner eingebe, dann kommt wieder das gleiche raus. ich kann es nicht mehr weiterrechnen.

wenn ich es mit dem multiplikationsgesetz versuche, läuft es im prinzip auf das gleiche raus:

r*sin(2x) ist nicht element von sin(a*x)

das kann ich zwar hinschreiben aber jetzt ist ja das gleiche problem wie bei plus, weil ich nicht weiterrechnen kann und der taschenrechner auch nicht.

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 11:44:31 Titel:

Ob du oder der Taschenrechner irgendetwas nicht kann, ist unerheblich. Du musst zeigen, dass es kein reelles a mit

sin(ax) = sin(2x) + sin(3x) bzw. sin(ax) = 2sin(x) gibt.

In beiden Fällen genügt es festzustellen, dass sin(ax) nur Werte im Intervall [-1; 1] annimmt, während sin(2x)+sin(3x) und 2sin(x) jeweils auch mal außerhalb davon landet. Im zweiten Fall ist dies leicht einzusehen (x=PI/2); bei deinem sin(2x)+sin(3x) muss man da schon genauer hinsehen (z.B. x= Pi / 6).

Cyrix
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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 12:02:18 Titel:

ah, mit dem Wertebereich kann man es machen, das hab ich jetzt verstanden, danke.

aber jetzt kommt noch so eine aufgabe, wo der vektor gar kein vektor ist, wie ich das von vektorrechnung kenne, sondern wieder eine funktion:

ich glaube ich weiss, was eine basis ist, ein minimales erzeugendensystem. alle vektoren der basis müssen linear unabhängig sein. wenn ich gucken will, ob vektoren linear unabhängig sind, dann mach ich immer so ne vektorkette und setz sie mit dem nullvektor gleich. wenn es nur die triviale lösung gibt, dann sind sie ja l.u. und wenn noch andere lösungen existieren sind sie l.a.
aber jetzt is ja das problem, dass hier gar gar vektoren sind, mit denen ich eine vektorkette machen kann. wie soll das gehen? muss man da irgendwas transformieren? aber wie? bitte hilf mir nochmal.

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 12:32:22 Titel:

Du machst das Gleiche wie immer. Ignoriere, dass es sich um Funktionen handelt.

Du musst nur beachten, wie du die Summe zweier linearer Funktionen berechnest und wie du eine solche lineare Funktion mit einer Konstanten multiplizierst.

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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 13:11:28 Titel:

die summe zweier funktionen und die multiplikation mit einer zahl würd ich so machen:

das gleiche wie immer zu machen, ist für mich schwierig, denn ich würde jetzt erstmal gucken, wie viele zahlen bei dem vektor untereinanderstehen, und aus so vielen vektoren würde ich eine vektorkette bilden und mit dem nullvektor gleichsetzen. damit ich gleich weiss, dass es auch klappt, nehm ich dann immer die einheitsvektoren.

wenn ich ignoriere, dass es sich um funktionen handelt, dann würd ich jetzt mal ne zweierkette bilden, weil 2 unbekannte drin sind. dann steht da:

jetzt würd ich ja normalerweise die einheitsvektoren nehmen. geht das hier jetzt auch? dann wär eine basis:

und der beweis:

aber das kanns ja irgendwie nicht sein, da gibt es ja jetzt mehr als eine lösung. is irgendwie doof mit dem x, weil das is ja bei nem normalen vektor nicht drin.

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 13:15:23 Titel:

Vielleicht solltest du zuerst klären, was denn der Nullvektor in deinem Vektorraum ist: Welche Funktion kannst du zu jeder Funktion f dazu addieren, und erhältst dann wieder die gleiche Funktion f?

Wenn du das hast, kannst du prüfen, ob zwei Funktionen f_1 und f_2 linear unabhängig sind, indem du die Gleichung a * f_1 + b * f_2 = 0 (wobei diese 0 dein Nullvektor von oben ist) löst. (Hinweis: Diese Gleichung lässt sich dann als lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten a und b darstellen.)

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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 13:41:07 Titel:

dann wär der nullvektor wohl: 0*x +0

bei der basis von eben bleibt ich dann mal: B={x ; 1}

jetzt setze ich meine mutmaßliche basis ein:

ein LGS könnte ich mir jetzt höchstens vorstellen, wenn ich so was in der art mache wie bei ner matrix transponieren:

da gäbs jetzt nur die triviale lösung, isses das?

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 14:04:15 Titel:

Sieht gut aus. (Die "Matrix-Schreibweise" für die Funktionen würde ich weglassen; die ist so nicht sauber.) Aber die Idee hast du verstanden und nachgewiesen, dass die beiden Funktion f_1(x) = x und f_2(x) = 1 linear unabhängig sind. Sind sie aber auch ein Erzeugendensystem? (denn nur dann stellen sie eine Basis dar.)

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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 14:31:33 Titel:

ok, die schreibweise lass ich dann weg.

was ein erzeugendensystem ist weiss ich eigentlich gar nicht. hier steht:
"ein EZS ist eine Menge mit endlich vielen spaltenvektoren gleicher ordnung. ein EZS eines vollständigen R^m muss m linear unabhängige vektoren enthalten, denn nur dann lässt sich jeder beliebige vektor als linearkombination der vektoren des EZS darstellen"

deswegen hab ich ja 2 vektoren genommen, weil in dem vorgegebenen V 2 unbekannte drin waren. bisher wars halt immer so, dass ich ja schon wusste, welche dimension ein vektorraum hat und so wusste ich auch, wie viele vektoren es gibt, die maximal l.u. sein können. und wenn ich dann so eine gruppe hatte, dass hat es geheißen, das ist auch ein EZS. wenn dann noch mehr dazukamen, wars nicht schlimm, war ein immer noch ein EZS. aber jetzt weiss ich ja die dimension gar nicht, die soll ich ja erst rauskriegen. und wie ich beweise, dass ein EZS vorliegt, dass weiss ich gar nicht konkret und wenns jetzt mit funktionen ist, wie hier, weiss ichs erst recht nicht.

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 14:38:13 Titel:

Anders gefragt: Wie habt ihr den Begriff Basis definiert? Oben schreibst du "minimales Erzeugendensystem", d.h. du müsstest prüfen, ob du ein solches hast.

Ein Erzeugendensystem ist eine Menge von Vektoren {f_1; f_2; ...}, sodass du jeden Vektor des Vektorraums als f = a* f_1 + b * f_2 + ... schreiben kannst.

Ist dies für deinen Fall erfüllt?

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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 14:53:27 Titel:

definiert haben wir da gar nichts. das mit dem minimalen erzeugenden system hab ich aus einem buch. aber von erzeugenden system war halt in der schule auch die ganze zeit die rede und da sind auch noch aufgaben zu machen, wo das wort drin vorkommt, deswegen probier ichs jetzt einfach so.

ich habe ja jetzt die vektoren

1*x+0 und 0*x+1

der vektorraum ist m*x+n

wenn ich das in die gleichung, die du gesagt hast, einsetze, könnte es so sein:

scheint also erfüllt zu sein, aber kann man dass auch so aufschreiben?

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 15:05:50 Titel:

KLingt gut. Damit hast du alles notwendige gezeigt und bist fertig Smile

Cyrix
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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 15:07:00 Titel:

ok, danke.

und die Dimension des Vektorraums ist dann 2?

cyrix42 · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 15:07:50 Titel:

Jo

Cyrix
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silentKewtie · Verfasst am: 17 Aug 2012 - 15:10:26 Titel:

vielen dank.

es kommen noch 2 andere aufgaben, aber jetzt isses wieder mit "normalen" vektoren. die probier ich erstmal so.

silentKewtie · Verfasst am: 19 Aug 2012 - 20:23:21 Titel:

den rest der hausaufgaben hab ich eigetnlich ganz gut hingekriegt aber hier sind nochmal 2 fragen:

Betrachte den vektorraum V = IR^3.

a) zeige, dass

ein erzeugendensystem von V ist.

hab ich gemacht:

dann kommt später in der c) die frage:

Drücke

als linearkombination von M aus. ist diese Darstellung eindeutig?

da hab ich jetzt einfach folgendes hingeschrieben:

oder muss ich das jetzt nochmal konkret mit dem lösungsvektor [6,5,-4] durchrechnen? kann doch eigentlich nicht sein, weil ich es ja oben schon allgemein gerechnet habe, hab ich jetzt nur noch x,y und z eingesetzt und hingeschrieben:
Ja, die lösung ist eindeutig, weil die lösungsmenge nicht parameterabhängig ist.
geht das?

Nalien · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.05.2010 Beiträge: 608

a) ist ok.

c) Passt ebenso, du hast somit deine Koeffizienten fuer die Linearkombination gefunden.

Es gibt einen Satz der besagt, dass jedes Element eines Vektorraums eindeutig durch Linearkombinationen seiner Basiselemente dargestellt werden kann. Dies gilt fuer jede Basis des Vektorraums.

Falls du diesen Satz kennst darfst du ihn verwenden, wenn nicht musst du dir noch ueberlegen wie du die Eindeutigkeit belegen kannst.

silentKewtie · Verfasst am: 20 Aug 2012 - 00:45:50 Titel:

ok, danke. ich hatte mir das auch schon so gedacht aber bei dieser vektorraumsache weiss man irgendwie nie.

die zweite frage bezieht sich auf folgende aufgabe:

für welchen parameter t ist

eine basis des IR^2?

da wollte ich jetzt erstmal prüfen, für welche t die vektoren linear unabhängig sind:

da hab ich jetzt gezögert zu schreiben, dass die vektoren für t=0 linear abhängig sind, weil für t=0 ist ja der eine vektor der nullvektor und ich weiss gar nicht, ob man mit dem eine linearkombination machen kann.

Für t ungleich 0 hab ich dann noch gezeigt, dass B ein EZS ist:

das müsste ja so stimmen, ich hatte mich nur gewundert, dass jetzt in der lösung für a eine 0 rauskam. bisher war da immer was mit x oder y.

meine antwort wär jetzt:

für t ungleich 0 ist B eine basis des IR^2.

offen ist jetzt halt noch mit dem sonderfall t=0 und ich frag mich, warum dann in der aufgabe steht für WELCHEN wert von t. das sind ja bei mir jetzt unendlich viele, also entweder hab ich doch was falsch gemacht oder der meint für WELCHE werte von t.

Nalien · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.05.2010 Beiträge: 608

t = 0 darfst du ausschliessen, da du sonst offensichtlich z.B. den Vektor (1,0) oder (0,1) nicht erhalten kannst.

Ansonsten muesste es stimmen, insbesondere das jedes t aus R\{0} dir zu einem EZS und somit einer Basis verhilft.

silentKewtie · Verfasst am: 20 Aug 2012 - 11:09:50 Titel:

ok, aber kann ich auch sagen, dass die vektoren aus B für t = 0 linear abhängig sind?

Nalien · Senior Member Anmeldungsdatum: 21.05.2010 Beiträge: 608

Der Nullvektor ist immer linear abhaengig, somit ja.

silentKewtie · Verfasst am: 20 Aug 2012 - 12:55:56 Titel:

aha, dann ist alles klar. vielen dank.

silentKewtie · Verfasst am: 20 Aug 2012 - 19:16:49 Titel:

ich war heute in der schule und außer mir hat niemand die hausaufgaben gehabt aber der lehrer hat mich irgendwie die ganze zeit voll verarscht.
erstmal hab ich was zu dem beweis gesagt, wir sollten ja zeigen, dass

V={f|f(x)=sin(ax), a element IR}

kein vektorraum ist. das hab ich dann so gemacht, wie ich es hier gelernt hab, nämlich gezeigt, dass es kein reelles a gibt, sodass gilt:

sin(ax)=2sin(x)

indem ich gesagt habe sin(ax) ist element von [-1 ; 1] für alle x und 2sin(x) ist kein element von [-1 ; 1] zB für pi/2.

da hat er dann gesagt, dass sei unfug, der beweis sei schon durch die rechnung sin(x)+sin(x) = 2sin(x) erbracht, weil ein vielfaches nicht im vektorraum läge. das würde man ja sofort sehen, weil 2*sin(x) ja nicht die bedingung sin(ax) erfüllt. und dann hat er mich wieder auf den platz geschickt und noch gesagt, wenn ich das nicht glauben würde, könnte ich ja mit ihm um 100 euro wetten. das hab ich dann natürlich erstmal nicht gemacht, weil das erstens mal fast mein ganzes taschengeld ist und außerdem hat er gar nicht gesagt, wie diese wette dann entschieden werden soll. wenn er der schiedsrichter ist, dann hätte ich bei der wette ja eh keine chance, weil der ist echt felsenfest davon überzeugt, dass er recht hat. und da hat er dann gesagt: "siehste, da ziehste jetzt nämlich doch den schwanz ein, haha."

ich würd da jetzt schon nochmal gerne kontra geben, zumal er mich dann bei den nächsten hausaufgaben, die kein anderer hatte und wo ich am we stundenlang drangesessen hatte, dann die ganze zeit lächerlich gemacht hat, wie umständlich ich das alles gemacht hätte, das ginge doch alles viel einfacher (siehe unten).
ich hab halt versucht zu erklären, dass allein aus der umformung
sin(x)+sin(x)=2sin(x)
noch nicht hervorgeht, dass es kein reelles a gibt mit
sin(ax)=sin(2x)
und er sagt dann halt nur: "doch, dass geht daraus hervor, denn ein vielfaches liegt nicht im vektorraum"
wie kann ich dieses argument, welches er - egal, was ich gesagt habe - mantraartig wiederholt hat, totkriegen?

bei der aufgabe

hab ich es genauso gemacht, wie hier erarbeitet und da hat er voll auf doof gemacht, da hat er gesagt: "na klar, warum sollte man es sich denn einfach machen, wenn es auch umständlich geht." so wär die Lösung:

das is ja im prizip das, was ich auch hab, nur, dass der ja gar nichts gerechnet hat. kann ich das denn einfach so easy hinschreiben?

und dann war eine aufgabe, zeige, dass

ein vektorraum ist. da habe ich dann alle 10 gesetze nachgewiesen, hatte ich ja oben extra gefragt, ob ich das machen muss und da hat er dann ganz großspurig gesagt, da haste dir aber schön arbeit gemacht, es hätte völlig gereicht, wenn du die abgeschlossenheit der addition und die abgeschlossenheit der multiplikation nachgewiesen hättest, weil wir haben ja im unterrricht die 8 rechengesetze bereits allgemeingültig für alle vektoren des IR^3 nachgewiesen.

woher weiss ich denn jetzt genau, ob ich nur die abgeschlossenheit nachweisen muss oder ob ich auch noch die 8 rechengesetze durchgehen muss?

am do hab ich wieder mathe, bin mal gespannt, was dann kommt.