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Integration dx/(1+16x²)
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PeterPanik
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Anmeldungsdatum: 20.06.2012
Beiträge: 100

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2012 - 22:55:14    Titel: Integration dx/(1+16x²)

Hallo,

folgende Gleichung soll integriert werden:

dx/(1+16x²)

Ich habe 16x durch z substituiert, was mich jedoch zu einem falschen Ergebnis führt. Wenn ich jedoch vorher die Wurzel aus 16 ziehe und dann 4x substituiere passt es, damit komme ich auf die Lösung

1/4 arctan(4x) + C


Kann mir jemand erklären warum ich vorher die Wurzel ziehen muss?


Danke!!!
Edit isi1: Klammern berichtigt
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2012 - 23:26:31    Titel:

Zeig mal den Rechenweg, wo du 16x = z substituiert hast. Mich würde mal interessieren, wie du damit weiter gemacht hast. Das wird glaube ich mehr bringen, als wenn ich einfach sage, warum 16x substituieren falsch ist.
Seyphedias
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Anmeldungsdatum: 21.08.2012
Beiträge: 207
Wohnort: Ost-Westfalen

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 07:56:18    Titel:

Hi,

Ich denke mal du hast folgendes gemacht:

also integral über 1/(1+16x²) dx = integral über 1/(1+(4x)²) dx

z:=4x

integral über 1/(1+z²) dz/4

jetzt muss man folgendes wissen:
Integrale der Form 1/(1+x²) dx ist genau der arctan(x) + C

also hast du als Stammfunktion 1/4 arctan(z) + C
Rücksubstitution 4x:=z ergibt dann dein Ergebnis: 1/4 arctan(4x) + C

Die 1/4 kommen von der Ableitung der Substitution.

Mit Radizieren hat das nicht viel am Hut Wink
PeterPanik
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Anmeldungsdatum: 20.06.2012
Beiträge: 100

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 20:37:07    Titel:

Hallo,

also ich habe erst 16x durch z substituiert, wenn ich dann dz nach dx ableite komm ich auf dz/16 = dx.

Nach Integration habe ich 1/16 arctan(z)

NAch Rücksubstitution

1/16 arctan (16x)

Das dass falsch ist weiß ich, nur warum? 16 x abgeleitet ist doch 16?!?!?
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 21:40:17    Titel:

Das liegt daran, dass dort 16x^2 steht und nicht 16x.
Wenn du also z=16x substituierst, bleibt noch ein x über Wink
PeterPanik
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Anmeldungsdatum: 20.06.2012
Beiträge: 100

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2012 - 21:44:38    Titel:

...wie und was substituiere ich dann am besten?!
Seyphedias
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Anmeldungsdatum: 21.08.2012
Beiträge: 207
Wohnort: Ost-Westfalen

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2012 - 06:17:58    Titel:

Hi,

am besten du schreibst das 1/(1+16x²) dx um in 1/(1+(4x))² dx

jetzt kannst du 4x = z substituiren und dann hast du ein integral der Form: 1/(1+x²) dx

siehe mein Beiträg oben.
PeterPanik
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Anmeldungsdatum: 20.06.2012
Beiträge: 100

BeitragVerfasst am: 22 Aug 2012 - 06:42:10    Titel:

Hallo,

das mit dem umschreiben ist eine gute Idee. Im Prinzip hab ich das ja auch gemacht, nur ohne das Ganze umzuschreiben.

Danke für den Tipp!
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