Volumen Rotationskörper

cleese · Full Member Anmeldungsdatum: 15.04.2009 Beiträge: 111

Hallo zusammen,
es geht um die Herleitung der Volumenformel für Kreis und Ellipse.
Für Kreis galt:
(x-R)² + y² = R²; D = [0;2R]
und Ellipse:
((x-a)/a)² + (y/b)² = 1; D=[0;2a]

Bei beiden komm ich nach y=... und einsetzen ins Integral sowie ausrechnen auf das richtige Ergebnis; allerdings _nur_ unter einer Vorraussetzung.
Ich schreib jetzt nur den Ausdruck für den Kreis, da Ellipse zu schlecht zu lesen wär:
y=sqrt(2Rx-x²)
Sobald ich die Wurzel weglass und integrier, komm ich auf die richtige Lösung.
Selbes gilt für Ellipse.

Jetzt versteh ich nicht wirklich, warum ich die Wurzel beim Integral weglassen muss.
Bitte um Erklärung Smile

Gruß

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Ich nehme mal an, du meinst Fläche und nicht Volumen.
Ein Kreis hat kein Volumen.

Und wie du auf das richtige Ergebnis kommst, wenn du einfach die Wurzel weglässt, würde ich gerne mal sehen Smile

Ich komme damit auf einen Wert des Integrals von 4/3 R^3 (und das musst du noch mit 2 multiplizieren, weil du ja nur die obere Kreishälfte mit der Funktion y=sqrt(2rx-x^2) erfasst. Also 8/3 R^3

Das ist doch nicht die Fläche eines Kreises? Wink

cleese · Full Member Anmeldungsdatum: 15.04.2009 Beiträge: 111

Da hab ich mich wohl falsch ausgedrückt; bzw habs vermutlich zu kurz gefasst Smile

Werd jetzt mal ausführlicher Allerdings nur für Kreis/Kugel; Ellipse ist zuviel Schreibaufwand und fast das selbe in grün.

(x-R)² + y² = R² D =[0;2R]

Rotation um die x-Achse.
nach y aufgelöst steht da:
y = sqrt(2Rx-x²)

pi*int(2Rx-x²)dx=
pi*(Rx²-1/3x³)|2R=
für x = 2R gilt:
4/3 *pi*R³

Hoff nun ist es klarer Smile

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Achso, ich hatte irgendwie beim Lesen den Threadtitel schon wieder vergessen und war verwirrt, weil du von einem Volumen des Kreises und nicht Volumen einger Kugel gesprochen hattest.

In dem Fall hast du dich einfach bei der Formel für Rotationskörper verlesen. Dort steht

V = pi*int(f(x)^2dx)

Da steht ja, dass du deine Funktion quadrieren musst Wink

Also kein Wunder, warum du damit auf das richtige Ergebnis kommst.

Lg Wink

Edit: Oder geht es dir darum, zu wissen, warum diese Formel richtig ist?

cleese · Full Member Anmeldungsdatum: 15.04.2009 Beiträge: 111

Ouw... Jetzt ergibt es durchaus Sinn.. Ich danke dir^^
//edit: nein nun ist es klar. Hab das Quadrat einfah nicht gesehen...