Lösung des Homogenen Gleichungssystems ?!

Crusstyle · Newbie Anmeldungsdatum: 08.02.2005 Beiträge: 10 Wohnort: Geldern

Hallo zusammen, ich sitze vor einer Aufgabe des Homogenen Gleichungssystems und komme einfach nicht weiter.. ich weiß keinen Lösungsansatz Sad

Hier die Aufgabe:

Für welche t besitzt das zugehörige homogene Gleichungssystem nicht triviale Lösungen? Berechnen Sie diese für einen t Wert.

Gegeben ist die Matrix
4 -3 t
A= -1 t 2
6 -7 -2

Vielen Dank im voraus Smile

algebrafreak · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 20:25:47 Titel:

Eine HLGS mit einer quadratischen Matrix besitzt nichttriviale Lösungen genau dann, wenn die entsprechende lineare Abbildung einen nichttrivialen Kern besitzt und somit nicht injektiv ist. Für solche (quadratische) gibt es eine Charakterisierung über Determinante: det(A) = 0 genau dann, wenn die Abbildung nicht injektiv ist.

det(A) = -6t^2 - t + 26

Auswerten der Bedingung ergibt

-6t^2 - t + 26 = 0 <=> t = -13/6 oder t = 2

Um den Wert t = 2 ergibt sich

A =
4 -3 2
-1 2 2
6 -7 -2

Der Kern K von A ist also K = Lin{ (2,2,-1)^T }.

Crusstyle · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 20:44:21 Titel:

Vielen Dank schonmal Smile

Den Sinn habe ich soweit jetzt auch verstanden... aber:

ich komme bei der Det(A) auf -6t^2 -t+14

voraus ziemlich krumme t werte folgen?!?

Crying or Very sad

Oh mann.. was soll ich bloß tun

algebrafreak · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 20:49:42 Titel:

Es gibt so eine Formel für Determinanten von Matrizen aus R^(3x3). Heißt irgendwie "Regel von Saurus" oder Sarrus oder so. Ich habe die Determinante mit MuPAD berechnet durch

linalg::det(matrix([[4,-3,t],[-1,t,2],[6,-7,-2]]));

Aber um Determinanten von mir per Hand berechnen zu lassen ist dein Avatar doch ein wenig zu klein! So 1024x2048 wäre nicht schlecht Smile

Crusstyle · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 21:00:28 Titel:

algebrafreak · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 21:07:48 Titel:

Du hast mich überzeugt (ich sollte weniger labern Smile

)

A =
4 -3 t
-1 t 2
6 -7 -2

det(A) = 4*t*-2 + -3*2*6 + t*-1*-7 - (t*t*6+4*2*-7+-3*-1*-2) =
-8t - 36 + 7*t - (6*t^2 - 56 - 6) = -6*t^2 - t + 26

Crusstyle · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 21:19:33 Titel:

Super!!! Vielen dank Smile

Jetzt hat es geklappt.. da habe ich wohl zwei mal schief hingeguckt Rolling Eyes

Aber eine kleine Frage hätte ich da doch noch: Embarassed

Gegeben ist die Matrix

A=
t 1
3t 4-t

Überzeugen Sie sich davon, dass A für alle t € R reelle Eigenwerte besitzt.

Embarassed

algebrafreak · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 21:33:56 Titel:

A=
t 1
3t 4-t

det(A - lE) = det(
t 1
3t 4-t
-
l 0
0 l)
= det(
t-l 1
3t 4-t-l)
=
(t-l)*(4-t-l)-3t = l^2 - 4l - t^2 + t = p(l).

Existenz der Eigenwerte ist durch die Existenz von Nullstellen des charakteristischen Polynoms charakterisiert.

l^2 - 4l - t^2+t = 0

Diskriminante (nach l) ist

D(t) = 4^2 - 4 * 1 * (-t^2+t) = 4 t^2 - 4 t + 16

Und nochmal Diskriminante ergibt:

16 - 4 *(4) * 16 < 0.

D(t) wird nicht 0. Um zu prüfen, dass D > 0 ist muss man einen Wert einsetzen. Z.B. 0. D(0) = 16 > 0. D.h. für alle t besitzt D(t) positive Werte und somit p(l) genau zwei verschiedene Nullstellen. Somit besitzt die Matrix zwei verschiedene Eigenwerte.

Crusstyle · Verfasst am: 03 Jul 2005 - 21:35:58 Titel:

Vielen Dank.. ich probiere das morgen gleich mal aus.. bin jetzt erstmal weg Wink

Ich wünsche dir noch einen schönen Abend und nochmals tausend dank Very Happy

Falls ich dir mal irgendwie helfen kann (was ich aber bezweifel) sag bescheid Very Happy