Extremstellen....woher weiß man

Campusice · Newbie Anmeldungsdatum: 28.08.2012 Beiträge: 10

Hallo, es geht um das Thema Kurvendiskussion bzw. Extremstellen ausrechnen.

Natürlich gibt es nur 2 Extremstellen, der niedrigste Punkt und der höchste Punkt. Dazu soll man von der Funktion f(x) die 1. Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen, denn an den Extremstellen ist die Steigung gleich = 0. Soweit so gut...nur.....kann der Graph ja doch mehrere Punkte haben, an denen die Steigung 0 ist....aber kein Extrempunkt ist.

Meine Frage: Wieso kann man mit der Methode 1. Ableitung gleich 0 setzen defintiv bestimmten, wo die beiden Extrempunkte liegen.

Mfg

fettarme_Milch · Junior Member Anmeldungsdatum: 09.09.2011 Beiträge: 61

wasp · Senior Member Anmeldungsdatum: 13.01.2007 Beiträge: 2548

Erste Ableitung Null setzen ist eine notwendige Bedingung, aber keine hinreichende. Du musst noch die zweite Ableitung an dieser Stelle ausrechnen und die muss für einem Extremwert ungleich Null sein.

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Das ist so auch nicht ganz richtig. Die 2. muss nicht zwingend ungleich 0 sein, wenn es sich um einen Extremlunkt handelt. Dies ist nämlich nur hinreichende (zusammen mit f'(xe) = 0) Bedingung, nicht aber notwendige. Zugleich hinreichende und notwendige Bedingung ist der Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung.

Dörte Fröhlich · Newbie Anmeldungsdatum: 18.07.2012 Beiträge: 34

Hallo,

nochmals- vielleicht einfacher - zusammengefasst:

Wenn Du die Extremwerte einer Funktion berechnen sollst, gehe nach folgendem "Kochrezept" vor:

1. Berechne die 1. und 2. Ableitung der Funktion.

2. Setze die 1. Ableitung gleich Null. Du erhältst - wenn es einen Extremwert gibt - eine oder mehrere Nullstellen, die sog. kritischen Stellen.

3. Diese kritischen Stellen setzt Du in die 2. Ableitung ein. Ergibt sich ein Wert kleiner Null, liegt an dieser Stelle ein Maximum vor. Ist das Ergebnis größer Null, liegt ein Minimum vor. Ist das Ergebnis Null, liegt kein Extremwert vor (vielleicht ein Sattel- oder Wendepunkt, aber das spielt bei Deiner Frage ja keine Rolle).

4. Setze nun diese Extremstellen in die Ausgangsfunktion ein. Dann hast Du die dazugehörigen Extremwerte.

Herzliche Grüße
Dörte Fröhlich
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cyrix42 · Verfasst am: 19 Sep 2012 - 17:49:09 Titel:

@Thread-Ersteller: Nicht lesen bzw. nicht verwirren lassen. Wink

Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Ok, ich glaube für die Schule sollte das aber ausreichen Wink

Du bist auch Lehrer oder ? Wie bringst du das bei, bin gespannt. (ehrlich)

Lg.

Ol@f · Full Member Anmeldungsdatum: 05.09.2007 Beiträge: 482

cyrix42 · Verfasst am: 19 Sep 2012 - 18:06:46 Titel:

Nu, also noch unterrichte ich diesen Spaß nicht. Aber wenn, so hab ich mir vorgenommen, wenigstens noch die passenden Vorassetzungen für diese Sätze mit zu vermitteln.

Also in deinem Fall: "Eine einmal stetig differenzierbare Funktion f besitzt an der Stelle x genau dann eine Extremum, wenn f'(x)=0 ist und f' dort einen Vorzeichenwechsel erfährt."

Wink

Liebe Grüße
Cyrix

p.s.: Eigentlich wollte ich ein Gegenbeispiel finden, in dem zwar die 1. Ableitung 0 wird, aber man irgendwie schwierig von "Vorzeichenwechsel" reden kann, weil in der Umgebung der betrachteten Stelle die Ableitungsfunktion gar nicht stetig ist. Aber das schaut dann schon seeehhr konstruiert aus... Wink

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Die Wurzel
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Nofeys · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.04.2009 Beiträge: 620

Ok, ich hatte gedacht, du würdest dann noch irgendeine Möglichkeit zeigen, wie man im Falle einer nicht stetigen 1. Ableitung vorgeht Smile

Aber das geht wohl wirklich ein bisschen zu weit.
Danke für den Einblick Wink

Liebe Grüße