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Extremstellen....woher weiß man
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Campusice
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Anmeldungsdatum: 28.08.2012
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 15 Sep 2012 - 22:24:12    Titel: Extremstellen....woher weiß man

Hallo, es geht um das Thema Kurvendiskussion bzw. Extremstellen ausrechnen.

Natürlich gibt es nur 2 Extremstellen, der niedrigste Punkt und der höchste Punkt. Dazu soll man von der Funktion f(x) die 1. Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen, denn an den Extremstellen ist die Steigung gleich = 0. Soweit so gut...nur.....kann der Graph ja doch mehrere Punkte haben, an denen die Steigung 0 ist....aber kein Extrempunkt ist.

Meine Frage: Wieso kann man mit der Methode 1. Ableitung gleich 0 setzen defintiv bestimmten, wo die beiden Extrempunkte liegen.

Mfg
fettarme_Milch
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Anmeldungsdatum: 09.09.2011
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 15 Sep 2012 - 23:26:26    Titel: Re: Extremstellen....woher weiß man

Campusice hat folgendes geschrieben:
Hallo, es geht um das Thema Kurvendiskussion bzw. Extremstellen ausrechnen.

Natürlich gibt es nur 2 Extremstellen, der niedrigste Punkt und der höchste Punkt. Dazu soll man von der Funktion f(x) die 1. Ableitung bilden und diese gleich 0 setzen, denn an den Extremstellen ist die Steigung gleich = 0. Soweit so gut...nur.....kann der Graph ja doch mehrere Punkte haben, an denen die Steigung 0 ist....aber kein Extrempunkt ist.

Meine Frage: Wieso kann man mit der Methode 1. Ableitung gleich 0 setzen defintiv bestimmten, wo die beiden Extrempunkte liegen.

Mfg


Natürlich ist schon mal gar nichts. Es gibt globale/lokale Maxima/Minima/Sattelpunkte

Du sagst es doch schon selber: An Extremstellen ist die Steigung gleich Null, die erste Ableitung entspricht der Änderungsrate. Was du mit der 1. Ableitung also feststellst ist lediglich ein Punkt mit einer waagrechten Tangente, ob es ein Extremwert oder doch ein Sattelpunkt ist, musst du mit der sog. "hinreichenden" Bedingung überprüfen (2. Ableitung, Verlauf der Kurve)

Deshalb ist deine Frage falsch, man kann mit der 1. Ableitung nicht DEFINITIV einen Extremwert bestimmen.
wasp
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Anmeldungsdatum: 13.01.2007
Beiträge: 2707

BeitragVerfasst am: 15 Sep 2012 - 23:29:16    Titel:

Erste Ableitung Null setzen ist eine notwendige Bedingung, aber keine hinreichende. Du musst noch die zweite Ableitung an dieser Stelle ausrechnen und die muss für einem Extremwert ungleich Null sein.
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 15 Sep 2012 - 23:39:11    Titel:

Das ist so auch nicht ganz richtig. Die 2. muss nicht zwingend ungleich 0 sein, wenn es sich um einen Extremlunkt handelt. Dies ist nämlich nur hinreichende (zusammen mit f'(xe) = 0) Bedingung, nicht aber notwendige. Zugleich hinreichende und notwendige Bedingung ist der Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung.
Dörte Fröhlich
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Anmeldungsdatum: 18.07.2012
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 16:11:15    Titel:

Hallo,

nochmals- vielleicht einfacher - zusammengefasst:

Wenn Du die Extremwerte einer Funktion berechnen sollst, gehe nach folgendem "Kochrezept" vor:

1. Berechne die 1. und 2. Ableitung der Funktion.

2. Setze die 1. Ableitung gleich Null. Du erhältst - wenn es einen Extremwert gibt - eine oder mehrere Nullstellen, die sog. kritischen Stellen.

3. Diese kritischen Stellen setzt Du in die 2. Ableitung ein. Ergibt sich ein Wert kleiner Null, liegt an dieser Stelle ein Maximum vor. Ist das Ergebnis größer Null, liegt ein Minimum vor. Ist das Ergebnis Null, liegt kein Extremwert vor (vielleicht ein Sattel- oder Wendepunkt, aber das spielt bei Deiner Frage ja keine Rolle).

4. Setze nun diese Extremstellen in die Ausgangsfunktion ein. Dann hast Du die dazugehörigen Extremwerte.

Herzliche Grüße
Dörte Fröhlich
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23557

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 16:49:09    Titel:

@Thread-Ersteller: Nicht lesen bzw. nicht verwirren lassen. Wink

Nofeys hat folgendes geschrieben:
Zugleich hinreichende und notwendige Bedingung ist der Vorzeichenwechsel in der 1. Ableitung.


Aha. Hm, ich hab hier die Funktion f(x)=|x| stehen, und soll deren Extremwerte herausfinden. Also vom Graphen her sieht es so aus, als ob da bei x=0 ein Minimum liegt, aber ich scheitere irgendwie schon daran, die erste Ableitung bei x=0 überhaupt auszurechnen... Wink

Cyrix
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 16:57:23    Titel:

Ok, ich glaube für die Schule sollte das aber ausreichen Wink
Du bist auch Lehrer oder ? Wie bringst du das bei, bin gespannt. (ehrlich)

Lg.
Ol@f
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Anmeldungsdatum: 05.09.2007
Beiträge: 558

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 17:04:31    Titel:

Dörte Fröhlich hat folgendes geschrieben:

...3. Diese kritischen Stellen setzt Du in die 2. Ableitung ein. Ergibt sich ein Wert kleiner Null, liegt an dieser Stelle ein Maximum vor. Ist das Ergebnis größer Null, liegt ein Minimum vor. Ist das Ergebnis Null, liegt kein Extremwert vor (vielleicht ein Sattel- oder Wendepunkt, aber das spielt bei Deiner Frage ja keine Rolle)....

Herzliche Grüße
Dörte Fröhlich

Wie im Post über dir schon angemerkt, ist das nicht ganz richtig.

Dafür betrachte man einfach die Funktion f:IR-->IR mit f(x)=x^4.
Offensichtlich haben wir hier ein globales Minimum bei x=0. Um dies zu zeigen, kann man die nächsten weiteren Ableitungen berechnen und betrachtet den Grad der Ableitung, bei der die ensptrechende Nullstelle der 1. Ableitung eingesetzt in die höhere Ableitung erstmals ungleich Null ist.
Ist der Grad "gerade", so haben wir Maximum/Minimum. Ist dieser "ungerade" haben wir einen Wendepunkt.
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 23557

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 17:06:46    Titel:

Nu, also noch unterrichte ich diesen Spaß nicht. Aber wenn, so hab ich mir vorgenommen, wenigstens noch die passenden Vorassetzungen für diese Sätze mit zu vermitteln.

Also in deinem Fall: "Eine einmal stetig differenzierbare Funktion f besitzt an der Stelle x genau dann eine Extremum, wenn f'(x)=0 ist und f' dort einen Vorzeichenwechsel erfährt."

Wink


Liebe Grüße
Cyrix

p.s.: Eigentlich wollte ich ein Gegenbeispiel finden, in dem zwar die 1. Ableitung 0 wird, aber man irgendwie schwierig von "Vorzeichenwechsel" reden kann, weil in der Umgebung der betrachteten Stelle die Ableitungsfunktion gar nicht stetig ist. Aber das schaut dann schon seeehhr konstruiert aus... Wink
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 639

BeitragVerfasst am: 19 Sep 2012 - 17:35:30    Titel:

Ok, ich hatte gedacht, du würdest dann noch irgendeine Möglichkeit zeigen, wie man im Falle einer nicht stetigen 1. Ableitung vorgeht Smile
Aber das geht wohl wirklich ein bisschen zu weit.
Danke für den Einblick Wink

Liebe Grüße
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