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Betrag komplexer Zahlen
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chiraq
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Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 04 Jul 2005 - 09:20:10    Titel: Betrag komplexer Zahlen

Es seien die koml.Zahlen
z1:= sqrt(2) + sqrt(2) * i
z2:= (i / sqrt(2)) - (1/sqrt(2))

zu zeigen ist, dass:

|z2^-2 - z1²|=3

habe schon durchgerechnet, komme auf alles andere als 3.
pls help!!
thx
chiraq
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Anmeldungsdatum: 18.05.2005
Beiträge: 17

BeitragVerfasst am: 04 Jul 2005 - 16:59:43    Titel:

TOLL DANKE EUCH
merci
wild_and_cool
Moderator
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 11:32:22    Titel:

Zitat:
z1:= sqrt(2) + sqrt(2) * i
z2:= (i / sqrt(2)) - (1/sqrt(2))

zu zeigen ist, dass:

|z2^-2 - z1²|=3


Also
1/z2² = 1 / [(i / sqrt(2)) - (1/sqrt(2))]² = 1 / [(i / sqrt(2))² - 2*(i / sqrt(2))*(1/sqrt(2)) + (1/sqrt(2))²]
1/z2² = 1 / (i²/2 - 2i/2 + 1/2) = 1 / (-1/2 + 1/2 - i) = -1/i

Jetzt noch das i aus dem Nenner, also mit dem komplex konjugierten erweitern:
-1/i * -i/-i = 1i / -i² = 1i/-1 = -i

Dann
z1² = (sqrt(2) + sqrt(2) * i)² = 2 + 2i + 2i² = 2 + 2i - 2 = 2i

Und jetzt einsetzen:
|z2^-2 - z1²| = |-i - 2i| = |-3i|

Dann noch den Betrag ausrechnen:
z = x - yi --> |z| = sqrt(x²+y²)

In Deinem Fall ist x = 0 und y = 3:
|z| = sqrt(0²+3²) = sqrt(9) = 3...
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