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brainstar
Junior Member
Anmeldungsdatum: 22.04.2007
Beiträge: 78
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 Verfasst am: 21 Sep 2012 - 14:24:39 Titel: Temperaturverteilung in Eis (Steady-State) |
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Hallo,
ich stehe vor einem Problem. Zur Verifikation einer FEM-Rechnung versuche ich mich analytisch an folgendes Problem heranzutasten:
Man hat einen Quader aus Aluminium (z.B. 1m x 0.1m x 0.1m), der sich in Eis befindet. Das Eis soll unendlich groß sein und eine Temperatur von 263K (-10°C) aufweisen.
Der Quader dient als Wärmequelle (1000W). Sodass sich eine Wärmestromdichte von 0,42W/m^2 resultiert.
Nun würde ich gerne wissen, wie die Temperaturverteilung aussieht, wenn das thermische Gleichgewicht erreicht wurde (Steady-State). Es soll lediglich die Wärmeleitung betrachtet werden.
Vielleicht könnt Ihr mir ja ein paar tipps geben, wie ich an die Sache herangehen kann.
Vielen Dank im voraus! |
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isi1
Moderator
Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 6808
Wohnort: München
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| Verfasst am: 22 Sep 2012 - 09:55:45 Titel: Re: Temperaturverteilung in Eis (Steady-State) |
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| brainstar hat folgendes geschrieben: |
| Der Quader dient als Wärmequelle (1000W). Sodass sich eine Wärmestromdichte von 0,42W/m^2 resultiert. |
1. Wie kommst Du auf diesen Wert, brainstar, wo doch 1000W/0,01m² = 100kW/m² ist? Oder soll 0,42W/m² der Übergangskoeffizient zur Luft sein?
2. Hast Du die Wärmeleitkoeffizienten von Eis und von Alu?
_________________
Grüße aus München, isi •≡≈ ¹₁₂½√∠∞±∫αβγδεηκλπρσφω ΔΣΦΩ |
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DrStupid
Full Member
Anmeldungsdatum: 11.07.2009
Beiträge: 295
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| Verfasst am: 22 Sep 2012 - 10:56:49 Titel: Re: Temperaturverteilung in Eis (Steady-State) |
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| brainstar hat folgendes geschrieben: |
| Der Quader dient als Wärmequelle (1000W). Sodass sich eine Wärmestromdichte von 0,42W/m^2 resultiert. |
Das wäre zwar die mittlere Wärmestromdichte im stationären Zustand, aber der Quader wird an den Ecken und Kanten mehr Wärme verlieren, als über die Flächen. Das hat zumindest in der unmittelbaren Umgebung einen Einfluss auf die Temperaturverteilung. Wenn Du das vernachlässigen willst, wäre es sinnvoller, den Quader durch eine Kugel zu ersetzen.
Letzten Endes läuft es auf die Lösung der stationären inhomogenen Wärmeleitungsgleichung hinaus. Wenn ich mich nicht irre, dann ist das eine Poisson-Gleichung. Bei Kugelsymmetrie sollte die analytische Lösung nicht allzu schwer sein. Bei Deinem Quader wird es kompliziert. Möglicherweise geht es da nur numerisch. |
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brainstar
Junior Member
Anmeldungsdatum: 22.04.2007
Beiträge: 78
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| Verfasst am: 25 Sep 2012 - 19:28:42 Titel: |
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Vielen Dank für die schnellen Antworten!
Ich habe das Problem nun wie Folgt gelöst:
Als Ausgangsgleichung dient, wie DrStupid bereits empfohlen hat, die stationäre inhomogene Wärmeleitungsgleichung für eine Kugel:
[; \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dT}{dr}\right) = 0 ;]
zweifache Integration liefert:
[; T_{(r)}=-\frac{C_1}{r}+C_2 ;]
mit den beiden Randbedingungen:
[; 1) T_{(r=r_0)}=T_s ;]
[; 2) T_{(r\rightarrow\infty)}=T_\infty ;]
folgt:
[; C_2=T_\infty ; C_1=r_0(T_\infty-T_s) ;]
eingesetzt in T(r):
[; T_{(r)}=T_\infty+(T_s-T_\infty)\frac{r_0}{r} ;]
T(s) errechnet sich aus q:
[; q=-kA\frac{dT}{dr}=-k\cdot 4 \pi r^2\left[-\frac{(T_s-T_\infty)r_0}{r^2}\right]=k\cdot 4 \pi r_0(T_s-T_\infty) ;]
eingesetzt in T(r):
[; T_{(r)}=\frac{q}{4 \pi k r_0}+T_\infty ;]
Beispiel für das oben genannte Problem:
[; q=1000\,\text{W} ;]
[; r_0=1\,\text{m} \text{(Radius der Waermequelle (Kugel))};]
[; T_\infty=-10\,^{\circ}\mathrm{C} ;]
[; k_{eis}\approx 2\,\frac{\text{W}}{\text{mK}} ;]
geplottet sieht die Geschichte dann wie folgt aus:
Anmerkung: Der Plot wurde versehentlich mit der halben Kugeloberfläche erstellt
Das sieht schonmal ganz akzeptabel aus.
Nun würde ich noch gerne das Material der Wärmequelle miteinbeziehen, also den Wärmeübergang von Alumium auf Eis. Wie stelle ich das am besten an? |
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