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endlicher Körper der Ordnung 8
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xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 14:31:56    Titel: endlicher Körper der Ordnung 8

Hallo zusammen,

Hat jemand von euch vielleicht eine Idee, wie

die Verknüpfungstafeln eines endlichen Körpers mit den elementen
b1, ..., bn, speziell GF(2^3) aussehen,
und wie man damit bspw.

die neue Verknüpfungstafel

A = bk*bi+bj aufstellt? bk bleibt dabei konstant und ist bspw b2


danke schonmal, wenn mir das einer erklären könnte.

Gruß
xytrath
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 14:40:07    Titel:

endliche körper sind immer vektorräume über Z/pZ.

wenn du einen körper mit 8 elementen suchst, dann ist der isomorph zu (Z/2Z) X (Z/2Z) X (Z/2Z) = (Z/2Z)^3.
elemente darin kannst du dir dann als vektoren vorstellen, mit jeweils 3 einträgen aus Z/2Z.
dann kannst du damit eigentlich fast ganz normal rechnen.
zb (0,1,1)+(1,1,0)=(1,2,1)=(1,0,1) <- die 2 ist in Z/2Z in der gleichen restklasse wie die 0.
so bekommst du alle 8 elemente des körpers und kannst dir auch leicht die verknüpfungstafeln überlegen.

zu deiner anderen frage weiß ich nicht so genau, was du da meinst Smile
xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 14:51:50    Titel:

also:

die elemente des körpers habe ich jetzt:

GF(2^3) = {0, 1, x, x+1, x^2, x^2+1, x^2+x, x^2+x+1}

mit b0=0, b1=1, b2=x usw....
nun möchte ich eine tafel aufstellen, in der ich

x*bi+bj rechne (i und j sind jeweils die indizes)
dann eine, in der ich (x+1)*bi+bj rechne usw.

also so
_________0___1___x___x+1___x^2___x^2+1___x^2+x___x^2+x+1
0
1
x
x+1
x^2
x^2+1
x^2+x
x^2+x+1

wenn man das unzerteilbare polynom noch benötigt:

M(x) = x^3+x+1

hoffe, du kannst jetzt was damit anfangen. danke

zeigen will ich damit:
alle diese tafeln, ausser 0*bi+bj (die geht ja nicht)
haben ausser in der ersten zeile paarweise verschiedene elemente

gruß
xytrath
xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 15:28:44    Titel:

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann sieht die tafel für

T1= 1*bi+bj so aus:



aber wie sieht das für x*bi+bj aus?

was ist x*x^2, oder x*(x^2+x+1) das raff ich irgendwie nich Sad .

und was kommt raus, wenn man (x^2+x+1)*(x^2+x+1) rechnet?

gruß
xytrath
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 19:21:46    Titel:

ich denke, das stimmt soweit.
nun mußt du beachten, dass x^3+x+1=0, also zb x^3=-x-1=x+1 (da -1=1 in Z/2Z).
wenn du also (x+1)*x^2+x berechnen willst (bi=x^2, bj=x), dann ist das x^3+x^2+x=x+1+x^2+x=1+x^2.
xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 05 Jul 2005 - 19:26:51    Titel:

Suuper!

Vielen Dank. Dass ich da auch nicht selber drauf gekommen bin, tsts.

So jetz muss das ganze nur noch programmiert werden Sad.

dazu müsste ich nur noch wissen wie jedes einzelne unteilbare polynom
und wie die Elemente von GF(p^k) allgemein aussehen.


aber erst mal vielen dank soweit.

hat mir sehr weiter geholfen.

gruß
xytrath
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