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differenzierbarkeit impliziert stetigkeit
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Gast







BeitragVerfasst am: 27 Mai 2004 - 01:22:21    Titel: differenzierbarkeit impliziert stetigkeit

hallo !
ich bin schon seit einiger zeit auf der suche nach dem beweis, dass eine differenzierbare folge auch stetig ist. ich habe zwar shcon eine antwort bekommen, doch der beweis war leider völlig falsch Sad im internet findet man auch ansonsten kaum etwas (oder es ist mit vektoren beschrieben, was man in der 11. jahrgangsstufe noch nicht hat). eine einfacher erscheinenden beweis fand ich hier:
http://www.mathe-online.at/mathint/diff2/i.html#diffstet
leider habe ich es noch nicht so wirklcih verstanden. außerdem kommt mir der beweis gewissermaßen eingeschränkt vor (bedingung: funktion, die gegen x konvergiert)

es wäre echt nett, falls mir jemand helfen könnte Very Happy
Gast







BeitragVerfasst am: 27 Mai 2004 - 01:39:55    Titel:

also...ein beweis is das folgende nicht:

man kann das theoretisch rein geometrisch ausdrücken:

differenzierbarkeit bedeutet, dass man an jede stelle im prinzip eine tangente zeichnen kann. wenn man an jede stelle nun eine tangente zeichen kann, so kann man sagen, dass man die kurve "in einem strich" (ohne den bleistift abzusetzen) zeichnen kann. deshalb gibt es keine definitionslücken und die funktion is stetig...

betragsfunktion is aber ein gegenbeispiel (is ein gaaaaanz einfacher beweis)
Gast







BeitragVerfasst am: 27 Mai 2004 - 21:12:39    Titel:

leider soll ich einen mathematischen beweis finden und diesen dann vor dem gesammten kurs vortragen. sobald die kleinste lücke drin ist, hab ich ein prob Surprised(
das prinzip habe ich ja auch verstanden...
Gast







BeitragVerfasst am: 29 Mai 2004 - 18:32:44    Titel:

Hallo

Ich versuche mal, den Beweis den du angegeben hast zu erklären.

Also, eingeschränkt ist er nicht. Mann will ja zeigen, dass eine Funktion stetig ist, falls sie differenzierbar ist, und das macht man eben so, dass man zeigt, dass sie an JEDEM BELIEBIGEN PUNKT x des Definitionsbereiches stetig ist. Ich nehme also irgend ein x, und weil ich das beliebig wähle, gilt alles dann auch an jedem anderen Punkt, weil ich ja auch jeden anderen hätte nehmen können und das gleiche machen.

Nun also zum Beweis. Ich wähle irgend ein x aus, wie gerade erklärt. Stetigkeit bedeutet, dass für jede Folge x_n (_n soll der Index sein) die gegen x konvergiert, auch die Folge f(x_n) gegen f(x) konvergiert.

Zu meinem beliebig gewählten x wähle ich also eine ebenso beliebige Folge x_n, die gegen x konvergieren soll. Daraus schliesse ich erst einmal, dass dann x_n-x für n gegen unendlich gegen null geht.

Da ich vorausgesetzt habe, dass meine Funktion f differenzierbar sein soll, existiert der berühmte Differentialkoeffizient, d.h. lim_(h->0)f(x+h)-f(x)/h.

Weil gemäss unserer Wahl x_n-x gegen null geht, kann ich für h in der obigen Formel x-x_n nehmen und das auch so schreiben:

lim_(n->unendlich)f(x_n)-f(x)/(x_n-x)=c

Mit =c auf der rechten Seite meine ich einfach, dass dieser Grenzwert existiert, er hat den Wert der Zahl c.

Jetzt bin ich so gut wie fertig: ich multipliziere beide Seiten mit lim_(n->unendlich)x_n-x und kürze, dann kommt dabei heraus

lim_(n->unendlich)f(x_n)-f(x) = c *lim_(n->unendlich) x_n-x
und die rechte Seite ist null, weil die Folge x_n gegen x konvergiert.

Also ist lim(n->unendlcih)f(x_n)-f(x)=0, und das heisst gerade, dass f(x_n) gegen f(x) konvergiert, und das mussten wir ja zeigen, um die Stetigkeit zu bekommen.

Ich hoffe, das war verständlicher.
Grüsse
Tester
Gast






BeitragVerfasst am: 01 Jun 2004 - 02:13:09    Titel: Ein Link zu einem Beweis

http://www-ifm.math.uni-hannover.de/~hulek/Skripten/AnaA/Kapitel5.pdf

Satz 5.1
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