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analysis: kompaktheit
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 21:12:19    Titel: analysis: kompaktheit

hey leutchen!

ich möchte gern morgen eine aufgabe vorrechnen weil ich noch dringenst punkte brauche und das die letzte gelegenheit ist, welche zusätzlich zu sammeln!
die aufgabe fand ich nicht schwer und hab sie gelöst und würde jetzt gern von euch wissen, ob das so ok ist oder ich auf dem holzweg bin weil will mich ja auch nicht zum horst machen... Wink

also:
sei (a_n)_n€N eine monotone Folge in R
zeigen sie, dass {a_n : n€N} genau dann kompakt ist, wenn {a_n : n€N} endlich ist.

mein beweis:
sei M={a_n : n€N}
(i) M kompakt => M endlich
(ii) M endlich => M kompakt

(i) sei M kompakt
=> alle Teilfolgen von (a_n)_n€N sind konvergent
=> (a_n)_n€N ist konvergent
sei lim(a_n) := a_m für ein m€N mit n<m
=> a_m ist Schranke von (a_n)n€N
wegen a_n monoton ist für
1) monoton steigend a_n < a_m für alle n€N => a_m=maxM
2) monoton fallend a_n > a_m für alle n€N => a_m=minM
=> M={a_1, ... a_m : (a_n)€R, n,m€N mit n<m}
=> M ist gelichmächtig zur Teilmenge N von N mit N={1,2,...,m : m€N}
=> M ist endlich

tata!
naja und (ii) würd ich auf dem rückweg machen, also quasi kann man aus allen inklusionen äuqivalenzen machen und hats bewiesen, oder?

hoffe, das klappt so weil war so easy. wenn nicht, sagt bitte, wo der haken ist, ja?

thanx!
xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 21:36:31    Titel:

ich sach ma bescheid, dass das so korrekt ist.

Dann musste nicht warten, ob noch jemand was hinschreibt und kannst den rückweg noch schnell aufschreiben. Wink

Habs zwar eigentlich nicht so mit den beweisen, aber aus meiner sicht müsste das alles stimmen.

hoffe du krichst n paar pünktchen für!

Gruß
xytrath
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 21:39:55    Titel:

ok dann mach ich das morgen so!
na der rückweg ist ja quasi analog nur rückwärts.
klappt doch, oder?

teil b der aufgabe war die frage, obs auch funktioniert, wenn a_n nicht monoton ist und da würd ich sagen, klappt nicht, weil man an der stelle mit min und max probleme kriegt und daher nicht auf M endlich kommen kann oder gäbs für den fall nen umweg?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 21:53:40    Titel:

Ich als pathologischer Korrektor bin nicht mit deiner Lösung zufrieden. Du wirst hoffentlich was dazu sagen um es auszugleichen. Denke: Eine gute Lösung ist eine, wo der Leser auf entsprechendem Niveau KEINE Sekunde drüber nachdenken muss, warum die Schritte so sind, wie sie sind!

Zitat:

(i) sei M kompakt
=> alle Teilfolgen von (a_n)_n?N sind konvergent


Wo hast Du das her? In dieser Implikation muss auf jeden Fall Monotonie benutzt werden, denn für a_n = (-1)^n ist dein M kompakt, aber nicht alle Teilfolgen konvergieren. Das wird Dich dein Übungsleiter als erstes auch fragen.

Zitat:

(a_n)_n?N ist konvergent
sei lim(a_n) := a_m für ein m?N mit n<m


Warum ist der Grenzwert in M? I.A. ist das nicht der Fall. Beweis erforderlich.

Der Rest geht.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 22:16:10    Titel:

Zitat:
Zitat:
Zitat:

(i) sei M kompakt
=> alle Teilfolgen von (a_n)_n?N sind konvergent



na weil M ist doch die menge aller a_n und wenn M kompakt ist, sind alle folgen in M konvergent nach definition. also sind alle teilfolgen und alle umordnungen von a_n konvergent. naja und ich dachte, wenn alle teilfolgen konvergent sind, ist a_n doch auch konvergent, oder?


Zuletzt bearbeitet von amy am 06 Jul 2005 - 22:26:20, insgesamt einmal bearbeitet
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 22:25:03    Titel:

Zitat:
Zitat:
Zitat:

(a_n)_n?N ist konvergent
sei lim(a_n) := a_m für ein m?N mit n<m


Warum ist der Grenzwert in M? I.A. ist das nicht der Fall. Beweis erforderlich.


hm... hast recht! Smile
aber habe leider keine ahnung, wie ich das beweisen soll... gibste mir n guten tipp? und bitte n wirklich guten weil muss das bis morgen früh um neun fertig haben! Laughing

ich danke dir! bist wie immer meine rettung! *dankdrück*

schönen abend noch!
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 22:31:55    Titel:

so aber der rückweg ist analog und dass b nicht klappt plus begründung ist ok, ja? würdest du bei b einen beweis oder so erwarten? weil würde das nur so sagen und dabei auf die betreffende stelle im beweis von a zeigen
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 23:26:02    Titel:

Zitat:
weil M ist doch die menge aller a_n und wenn M kompakt ist, sind alle folgen in M konvergent nach definition.


Obiges Beispiel widerlegt das doch. Aus M kompakt folgt nicht, dass alle Folgen von Elementen davon komvergent sind und auch nicht, wenn die von einer Folge stammen.

Sei M = { a_n | n in N } kompakt und a_n monoton. Gelte o.B.d.A a_n monoton fallend. Dann ist a_n konvergent.

Beweis: Da M Teilmenge R kompakt ist ist M auch beschränkt. Somit existiert nach dem Ordnungsvollständigkeit ein a = inf{M}. Da a_n eine reelle monoton fallende Folge ist, konvergiert a_n (nach "Monotone Konvergenz") gegen inf{ a_n | n in N } = inf {M} = a.

Zitat:
aber habe leider keine ahnung, wie ich das beweisen soll


Sei M = { a_n | n in N } kompakt und a_n monoton. Gelte o.B.d.A a_n monoton fallend und konvergent gegen a. Dann gilt a in M.

Beweis: Angenommen a ist nicht in M (somit ist die Folge speziell nicht schließlich konstant und enthält wegen der Monotonie in jeder Umgebung von a unendlich viele Folgenwerte). Dann gibt es (da R Hausdorrfsch ist) zu jedem a_n eine offene Umgebung U_n, die a_n von allen nicht gleichwertigen Punkten der Folge trennt. Setze U = { U_n | n in N }. U ist offensichtlich eine offene Überdeckung von M und enthält jeweils genau einen Wert der Folge. Es gibt daher keine endliche Teilüberdeckung von U. Das ist Widerspruch zur Kompaktheit von M.

Die Umkehrung ist trivial, da eine endliche Menge stets (quasi)kompakt (bezüglich jeder scheiß Topologie) ist. Und damit in R sowieso kompakt.

Zitat:
würdest du bei b einen beweis oder so erwarten?


Würde ich. Die Umkehrrichtung gilt immer. Es liegt am Teil i). Die Idee ist eine Folge zu definieren, die mehrere Häufungspunkte enthält, die selbst Folgenglieder sind. Z.B.

a_n =
1/n für n > 0 gerade und
1/n+1 für n ungerade und
0 für n = 0.

Dann ist die Folge offenbar nicht monoton, M = {a_n | n in N} ist kompakt. [Beweis?] Aber M ist offenbar nicht endlich. Die kompaktheit ergibt sich aus dem bekannten Satz:

für eine gegen a konvergente Folge a_n eines merischen Raumes X ist die Menge {a_n | n in N} U {a} kompakt.

Der Beweis ist sehr einfach.


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 06 Jul 2005 - 23:56:59, insgesamt 2-mal bearbeitet
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Jul 2005 - 23:43:45    Titel:

Tschuldigung. Habe da "b" übersehen. Oben ist es abgeändert.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Jul 2005 - 20:46:29    Titel:

Wie ist es gelaufen? Erzähl mal was!
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