nullstellen,hoch-tief-sattelpunkte/dringend

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

ich muss die nullstellen, sattel-/hoch-/tiefpunkte von diesen funktionen bestimmen, is sehr dringend, brauch das in ner halben stunde un kanns nich...... bitte mit kompletten lösungsweg! wenn ichs nich hab bis dahin bleib ich sitzen, bitte hillllfe!

x^4-3x^3
X^4+4x^3-20x^2-96x+45

Whoooo · Verfasst am: 08 Jul 2005 - 12:54:38 Titel:

schau im thread 'internetseiten' ein wenig weiter unten. da werden programme aufgelistet, die das können.

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

x^4-3x^3 = x³ * ( x - 3 )

Nullstellen:
x1/2/3 = 0 ; x4 = 3

1.Ableitung:
4x³ - 12x² = 0
4x² * ( x - 3 ) = 0

x2/3 = 0 ; x4 = 3

2.Ableitung:
12x² - 24x = 0
12x * ( x - 2 ) = 0

x3 = 0 ; x5 = 2
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wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Jetzt noch überprüfen, was was ist...

Also Extremstellen --> Hoch und Tiefpunkte:

1. Ableitung gleich Null ist die Vorraussetzung
2. Ableitung <> Null oder ein Vorzeichenwechsel der Steigung als zusätzliche Bedingung

Und Wendestellen
2.Ableitung gleich Null
3.Ableitung <> Null

Sattelpunkte:
2.Ableitung gleich Null
3.Ableitung = Null
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Serpico · Junior Member Anmeldungsdatum: 12.06.2005 Beiträge: 63

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

UPS !!!
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wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

SORRY !?!

Kopfrechnen war noch nie meine Stärke...
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Serpico · Junior Member Anmeldungsdatum: 12.06.2005 Beiträge: 63

Zur Veranschaulichung

lg S.

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Bist Dir damit sicher ???

x^4+4x^3-20x^2-96x+45 hat echt hässliche Nulstellen...
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Whoooo · Verfasst am: 08 Jul 2005 - 13:23:08 Titel:

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Man darf niemals aufgeben...

Vielleicht kann man Ihr ja noch im Nachhinein helfen...
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sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

ich versteh net wie ihr auf die nullstellen kommt!? ich muss erst irgendwie das hornerschema anwenden und dann, kp, komm mim hornerschema auch auf nix, ausführlicher bitte

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Wann ist x³ * ( x - 3 ) = 0

1. wenn x³ = 0 --> x = 0
2. wenn x - 3 = 0 --> x = 3
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Whoooo · Verfasst am: 08 Jul 2005 - 13:57:08 Titel:

naja.. in diesem fall sieht man das:

x^4-3x^3 = x³ * ( x - 3 )

du kannst das x³ ausklammern. dann kommst du auf den ausdruck auf der rechten seite. dieser kann nur dann 0 werden, wenn einer der faktoren null ist, also entweder x³ oder x-3 null ist. dann kommst du auf 0 und 3

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

ja nun noch die lösung zu der 2ten

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

ja aber das is ja kein ergebnis

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Ich meinte ja nur, ob die Gleichung so auch stimmt ???

Weil die Nullstellen auszurechnen irrwitzig kompliziert wird...
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wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Lösen der biquadratischen Gleichung x^4 + 4x³ - 20x² - 96x + 45 = 0

Die Gleichung liegt bereits in der Normalform x^4 + ax³ + bx² + cx + d = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - a/4 wird die Gleichung in die Form
y^4 + py² + qy + r = 0 gebracht, die kein kubisches Glied mehr aufweist.

(y - 1)^4 + 4(y - 1)³ - 20(y - 1)² - 96(y - 1) + 45 = 0

Statt auszumultiplizieren, kann man die neuen Koeffizienten auch direkt berechnen:

p = b - 3a²/8 = -26
q = a³/8-ab/2+c = -48
r = -(3a^4 - 16a²b + 64ac - 256d)/256 = 118

y^4 - 26y² - 48y + 118 = 0

Diese Gleichung kann über ihre kubische Resolvente z³ - 2pz² + (p²-4r)z + q² = 0
gelöst werden.

z³ + 52z² + 204z + 2304 = 0

Man benötigt also zunächst die Lösungen dieser Gleichung.

Lösen der kubischen Gleichung x³ + 52x² + 204x + 2304 = 0

Die kubische Gleichung liegt bereits in der Normalform x³ + rx² + sx + t = 0 vor.

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

(y - 17,333333333333332)³ + 52(y - 17,333333333333332)² + 204(y - 17,333333333333332) + 2304 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

p = s - r²/3 = -697,3333333333334
q = 2r³/27 - rs/3 + t = 9183,407407407407

y³ - 697,3333333333334y + 9183,407407407407 = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

p = -697,3333333333334 q = 9183,407407407407

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = 8524671,999999998.

Da R nicht negativ ist, kann die Gleichung mit der Cardanischen Formel gelöst werden:

T = sqr((q/2)²+(p/3)³) = sqr(R) = 2919,704094595889

u = kubikwurzel(-q/2 + T) = -11,86894335586409

v = kubikwurzel(-q/2 - T) = -19,584257627247037

y1 = u + v = -31,453200983111127

y2 = -(u + v)/2 - ((u - v)/2)*sqr(3)·i = 15,726600491555564 - 6,6816581571982585·i

y3 = -(u + v)/2 + ((u - v)/2)*sqr(3)·i = 15,726600491555564 + 6,6816581571982585·i

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=52 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

x1 = -48,78653431644447

x2 = -1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i

x3 = -1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i

Zurück zur Lösung der biquadratischen Gleichung.

Das Lösungsverfahren für kubische Gleichungen ergab also für das z der
kubischen Resolvente:

z1 = -48,78653431644447

z2 = -1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i

z3 = -1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i

Nach dem Satz von Vieta muß das Produkt der drei Lösungen gleich dem linearen Glied
der Gleichung sein, hier also q² = 2304.
Die Lösungen für y ergeben sich nun folgendermaßen:

y1 = ( sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2

y2 = ( sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2

y3 = (-sqr(-z1 ) + sqr(-z2 ) - sqr(-z3 ) ) / 2

y4 = (-sqr(-z1 ) - sqr(-z2 ) + sqr(-z3 ) ) / 2

wobei jedoch die Wahl der Vorzeichen der Wurzeln so getroffen werden muß, daß deren
Produkt gleich -q = 48 ist.

Die Wurzeln

sqr(48,78653431644447) = -6,984735808636176
sqr(1,6067328417777664 + 6,68165815719826·i) = 2,0589877431908232 + 1,6225589927125215·i
sqr(1,6067328417777664 - 6,68165815719826·i) = -2,0589877431908232 + 1,6225589927125215·i

erfüllen diese Bedingung.

Damit ergeben sich folgende Werte für y

y1 = -3,4923679043180886 + 1,6225589927125221·i

y2 = -3,4923679043180886 - 1,622558992712522·i

y3 = 5,551355647508911

y4 = 1,4333801611272652

und nach Subtraktion von a/4 ( = 1 ) die Lösungen der gegebenen

biquadratischen Gleichung:

x1 = -4,492367904318089 + 1,6225589927125221·i

x2 = -4,492367904318089 - 1,622558992712522·i

x3 = 4,551355647508911

x4 = 0,43338016112726524
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sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

dass ist mir nun doch nen bisschen zu hoch..... die nullstellen sollen wir irgendwie mit hornerschema, newtonverfahren oder pq-formel lösen..... hier dann wohl durch ein zusammenspiel von allem.... Question

Whoooo · Verfasst am: 09 Jul 2005 - 17:58:12 Titel:

schau mal, ob die gleichung wirklich die ist, die du afbekommen hast. es kann gut sein, das du dich da vertippt hast. in der schule rechnet man nie (ausser in manchen abgedrehten LKs oder einigen technischen gymnasien) mit imaginären zahlen.

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

die funktion stimmt, ich hab eben nochma geguckt

wild_and_cool · Moderator Anmeldungsdatum: 13.11.2004 Beiträge: 2952

Dann stimmt auch meine Lösung !?!
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sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

mit deiner lösung kann ich nix anfangen........ Rolling Eyes

ozz · Verfasst am: 09 Jul 2005 - 19:56:36 Titel:

diese lösung ist wild and cool *grins*
(hut ab übrigens)

wenn dein lehrer fies genug ist, so einen wurm zu stellen -> sei fies genug, eine kreative lösung anzuschleppen.

lös einfach numerisch (newton'sches approx.verfahren).

dürft ihr das, ohne dass es 'ne schlechte note gibt?
oder musst du das eventuell mündlich vortragen, so dass rauskommt, dass du das eigentlich nicht kannst?

meld dich noch mal, im notfall biegen wir das hier schnell hin.
_________________
how about a nice cup of s.t.f.u. ?

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

man muss ja das newtonverfahren anwenden, wenn man nah an null is ins hornerschema einsetzen, dessen bin ich mir bewusst, aber ich kanns nich wirklich anwenden.... Sad

vortragen nich, aber ich muss es schon verstehn (also bitte ausführlich!), weil so aufgaben in der arbeit vorkommen, die ich am montag schreib........

sandra1983 · Junior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 88

ich brauch dringenst die lösung bis heut abend....... nullstellen mim newtonverfahren...... un halt hoch/tief/sattelpunkte......