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Differzierbarkeit von lineare Fkt (AnaII)
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pi
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 15:30:35    Titel: Differzierbarkeit von lineare Fkt (AnaII)

Hi,

bin neu hier und fang gleich mal mit einer Frage an.

folgendes gilt ja für die Diff-barkeit in u:

f(u + h) - f(u) = Df(u)(h) + ||h|| lambda(h)

Bei lineare Fkt gilt weiter:

f(u + h) - f(u) = f(h) und deshalb soll folgen f(h) = Df(u)(h), aber wieso?
Was passiert mit dem Teil ||h|| lambda(h)?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:06:22    Titel:

Für lineare Abbildungen gilt: f(x+h)=f(x)+f(h).
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:19:36    Titel:

Der Rest fällt weg, weil der Grenzübergang schon vollzogen ist und der Rest gegen Null konvergiert.
pi
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:20:31    Titel:

Ja, das weiss ich. Ich versteh nur nicht warum dieser Teil der GL verschwindet: ||h|| lambda(h)
pi
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:23:51    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
Der Rest fällt weg, weil der Grenzübergang schon vollzogen ist und der Rest gegen Null konvergiert.


Müßte die Gl dann nicht so lauten: f(o) = Df(u)(o) ?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:37:43    Titel:

Ach so ja jetzt versteh ich die Frage.

Die Aufgabe der Differentialrechnung ist es für die Umgebung eines bestimmten Punktes U(x0) eine bestmögliche approximation zu finden.
Sei U eine Umgebung des Punktes x0. h sei nun so gewählt, dass x0+h€U ist und f sei eine Abbildung mit f:U->R^n. Dann wird die Ableitung im Punkt x0 folgender maßen definiert:

f(x0+h)=f(x0)+L(h) +o(h),

wobei L eine lineare Funktion ist und o(h) der Rest, so dass o(0)=0 ist.
Nach Vorraussetzung ist f eine lineare Funktion also:

f(x0+h)=f(x0)+f(h) <=>

f(h)=L(h)+o(h), da f(h) linear ist muss auch o(h) linear sein, also o(h)=0 für alle hinreichend kleine h, da L schon linear ist.
pi
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Anmeldungsdatum: 08.07.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 08 Jul 2005 - 17:51:33    Titel:

Sorry, ich hätte vielleicht nicht 1:1 aus dem Scrpit übernehmen sollen, sondern etwas verständlicher fomulieren sollen. Aber das was du geschrieben hast, ist genau das was ich meine.
In unserem Script steht halt die GL ohne der Fehlerfkt, sprich so f(h)=L(h). Das hat mich halt irritiert, weil bei h /= 0 ein Fehler enstehen müßte. Heißt das dann, dass es im Script nur ein wenig ungenau ist?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2005 - 12:34:19    Titel:

f(x+h)=f(x)+L(h)+o(h)

f(h)-L(h)=o(h) => o(h) ist linear



o(h) muss konstant 0 sein, da sonst L(h)+o(h) eine bessere lineare Approximation wäre, was dem Widerspricht, dass L(h) eine bestmögliche lineare Approximation wäre.
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