Differzierbarkeit von lineare Fkt (AnaII)

pi · Newbie Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 5

Hi,

bin neu hier und fang gleich mal mit einer Frage an.

folgendes gilt ja für die Diff-barkeit in u:

f(u + h) - f(u) = Df(u)(h) + ||h|| lambda(h)

Bei lineare Fkt gilt weiter:

f(u + h) - f(u) = f(h) und deshalb soll folgen f(h) = Df(u)(h), aber wieso?
Was passiert mit dem Teil ||h|| lambda(h)?

Gauss · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2005 Beiträge: 2063

Für lineare Abbildungen gilt: f(x+h)=f(x)+f(h).
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Mfg
Thomas

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Gauss · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2005 Beiträge: 2063

Der Rest fällt weg, weil der Grenzübergang schon vollzogen ist und der Rest gegen Null konvergiert.
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Thomas

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pi · Newbie Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 5

Ja, das weiss ich. Ich versteh nur nicht warum dieser Teil der GL verschwindet: ||h|| lambda(h)

pi · Newbie Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 5

Gauss · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2005 Beiträge: 2063

Ach so ja jetzt versteh ich die Frage.

Die Aufgabe der Differentialrechnung ist es für die Umgebung eines bestimmten Punktes U(x0) eine bestmögliche approximation zu finden.
Sei U eine Umgebung des Punktes x0. h sei nun so gewählt, dass x0+h€U ist und f sei eine Abbildung mit f:U->R^n. Dann wird die Ableitung im Punkt x0 folgender maßen definiert:

f(x0+h)=f(x0)+L(h) +o(h),

wobei L eine lineare Funktion ist und o(h) der Rest, so dass o(0)=0 ist.
Nach Vorraussetzung ist f eine lineare Funktion also:

f(x0+h)=f(x0)+f(h) <=>

f(h)=L(h)+o(h), da f(h) linear ist muss auch o(h) linear sein, also o(h)=0 für alle hinreichend kleine h, da L schon linear ist.
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Thomas

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pi · Newbie Anmeldungsdatum: 08.07.2005 Beiträge: 5

Sorry, ich hätte vielleicht nicht 1:1 aus dem Scrpit übernehmen sollen, sondern etwas verständlicher fomulieren sollen. Aber das was du geschrieben hast, ist genau das was ich meine.
In unserem Script steht halt die GL ohne der Fehlerfkt, sprich so f(h)=L(h). Das hat mich halt irritiert, weil bei h /= 0 ein Fehler enstehen müßte. Heißt das dann, dass es im Script nur ein wenig ungenau ist?

Gauss · Senior Member Anmeldungsdatum: 20.04.2005 Beiträge: 2063

f(x+h)=f(x)+L(h)+o(h)

f(h)-L(h)=o(h) => o(h) ist linear

o(h) muss konstant 0 sein, da sonst L(h)+o(h) eine bessere lineare Approximation wäre, was dem Widerspricht, dass L(h) eine bestmögliche lineare Approximation wäre.
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Thomas

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