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gleichmäßge Konvergenz einer Funktionenreihe
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pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 20 März 2013 - 20:43:44    Titel: gleichmäßge Konvergenz einer Funktionenreihe

Konvergiert diese Funktionenreihe gleichmäßig?

mit Index n und x €[0,c]:

Summe (nx^2)/(n^3+x^3)


meine Idee:

punktweise konvergiert sie schonmal, da abschätzbar mit konvergenter Majorante 1/(n^2)

und weiter ?
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 04:33:33    Titel:

Hi,

welche Kriterien kennst du denn, um die glm. Konvergenz einer Funktionenreihe nachzuweisen? Mit deinem Majorantenkriterium bist du nämlich schon sehr nah dran. Jetzt musst du nur noch verstehen wieso Wink

LG
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 14:56:07    Titel:

aso , ja wir haben ein kriterium das sagt "anschaulich" folgendes:

sei (Summe: f_n) die Funktionenreihe

findet man jetzt eine Majorante zu diesem f_n dann konvergiert die Reihe gleichmäßig,

da ich ja zu f_n die Majorante (1_n^2) schon gefunden habe, folgt daraus dann die gleichmäßige KOnvergenz

stimmt das so?

und kannst du mir vielleicht kurz nen bsp. geben für eine Funktionenreihe die nicht konvergiert?
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 21 März 2013 - 15:06:34    Titel:

ich glaub wenn x aus R wäre und nicht nur aus dem Intervall [0,c] dann dürtfe die Funktionenreihe nicht glm. konvergieren,
da wenn ich x= k setze, finde ich ja eine divergente Minorante

stimmt das so?
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 25 März 2013 - 04:08:11    Titel:

Hey,

der Punkt ist: Die Glieder deiner Majorante dürfen NICHT von x abhängen. Mit Summe 1/n^2 bist du schon nah dran, aber prüfe mal, ob wirklich
(nx^2)/(n^3+x^3) <= 1/n^2 für ALLE x aus [0,c] gilt, oder ob man da nicht vielleicht noch ein wenig modifizieren muss (Tipp: Man muss, sonst würde ich nicht fragen ^^).

Eigentlich hast du das nämlich auch schon erkannt, denn du hast zu Recht vermutet, dass die glm. Konvergenz mit dem c zu tun hat. Würde man x aus [0, oo[ zulassen, so wäre die Reihe nicht mehr glm. konvergent, denn für x = k folgt
Sum[n=1 bis k]((nk^2)/(n^3+k^3) >= k^3(k-1)/(4k^3)) -> oo
für k -> oo.

LG
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