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Stochastik Problem
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maxderp
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Anmeldungsdatum: 07.04.2013
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2013 - 00:30:08    Titel: Stochastik Problem

Ich habe folgende Frage:

Paulaner hat eine Kronkorkenaktion gestartet, in jeden Korken sind Trikots mit den nummern 1-11, wenn man alle hat kriegt man nen LIMITIERTEN ORGINAL PAULANERFUßBALL!!!
Die Nummern sind gleichmäßig verteilt. wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem kasten gleich alle nummern von 1-11 vorhanden sind?
In einem Kasten sind 20 Flaschen.

Wenn ich das richtig verstehe lässt sich das ja einfach mit einem Baumdiagramm lösen, allerdings überfordert mich die Anzahl der Pfade und ich weiß nicht, wie man das vereinfachen könnte..
Vielen Dank für Antworten im voraus..
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8242
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2013 - 10:09:18    Titel:

Das geht auch ganz ohne Baumdiagramm.

Berechne erst die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Deckeln mindestens eine Eins dabei ist:

Beim ersten Deckel ist die Wahrscheinlichkeit p_1=1/11. Wenn sie eintritt, dann kannst du aufhören.
Den zweiten Deckel musst du nur anschauen, wenn im ersten Deckel keine Eins war (1-1/11).Die Wahrscheinlichkeit für "im ersten Deckel keine Eins, aber im zweiten" ist dann p_2=(1-1/11)*1/11.
Für den dritten Deckel geht es analog. Du brauchst ihn nur, wenn du noch keine Eins hattest: (1-1/11)². Und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Dritten Deckel unter dieser Voraussetzung dann eine drin ist, ist p_3=(1-1/11)²*1/11.

So berechnest du lauter Wahrscheinlichkeiten p_1 bis p_20, das sich die erste Eins erst im jeweiligen Deckel findet. Wenn du die alle addierst, weißt du, wie wahrscheinlich es ist, dass irgendwann eine Eins dabei ist. (Im ersten Deckel oder im zweiten oder ...)

Um den ganzen Kram zu addieren, solltest du nicht zwanzig Einzelwahrscheinlichkeiten zahlenmäßig ausrechnen und die Zahlenwerte addieren, sondern erstmal für die Summe obigen Terme die Summenformel der geometrischen Reihe bemühen und dann Zahlen einsetzen.

Der Rest ist dann einfach: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Eins und mindestens eine Zwei usw. dabei ist?

Gruß, mike

P.S.: Und wenn du das Ergebnis der Summenformel siehst, dann merkst du, wie man dieses Zwischenergebnis (Wahrscheinlichkeit für mindestens eine Eins) auch noch viel leichter ermitteln könnte. Aber dazu erst, wenn du es rausbekommen hast.

P.P.S: Im Endergebnis ergibt sich eine erstaunlich hohe Wahrscheinlichkeit. Ich sehe folgende Möglichkeiten:
a) Entweder steht in den Teilnahmebedingungen, dass es auch für vollständige Deckelsammlungen nur einen Fußball gibt, solange der limitierte Vorrat reicht.
b) oder die Deckel sind doch nicht gleichmäßig verteilt vorhanden, so wie das auch bei Sammelbildchentüten üblich ist
c) oder Paulaner hat schon einen Güterzug voller Fußbälle geordert
d) oder der Stochastiker bei der Werbeagentur braucht demnächst einen neuen Job und der Geschäftsführer bei Paulaner muss sich sehr warm anziehen, wenn er seinen Bericht beim Vorstand abliefert.

P.P.P.S: Paulaner hat zwar einen intensiven Fußballbezug in seiner Werbung, aber ich finde im Internet nichts zu einer solchen Aktion. Handelt es sich lediglich um eine Schulbuchaufgabe (warum dann konkret "Paulaner" und nicht "eine Brauerei"?) oder ist die Aktion erst in Planung und du bist jener überforderten Mitarbeiter der Werbeagentur?
maxderp
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Anmeldungsdatum: 07.04.2013
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2013 - 10:49:09    Titel:

Also ich habe für die Wahrscheinlichkeit das mindestens ein Deckel dabei ist p=0,86

Das müsste jetzt doch auch die Wahrscheinlichkeit für mindestens eine 2, 3 usw. sein, oder?
Dann würde ich die 11 Einzelwahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren, also 0,86^11 wobei ich dann für p=0,2 bekomme.

War es so gedacht oder muss ich es anders machen?
Vielen Danke erstmal.

P.S.: Ich vermute Möglichkeit b) ist die richtige..
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8242
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2013 - 10:58:44    Titel:

Ja, deine Ergebniss sind - abgesehen von zu großzügigen Rundungsabweichungen - richtig.

Wenn du Zahlen, die kleiner als eins sind, so stark potenzierst, dann musst du mehr Ziffern mitführen. Das Zwischenergebnis war 0,851356... Die elfte Potenz davon ist 0,170304....

Also eher 17 % als 20 %.

Nun noch zur Frage, wie du das Zwischenergebnis einfacher hinbekommst:

Als Summenformel solltest du da stehen haben: [;\sum_{i=1}^{20}p*(1-p)^{i-1}=1-(1-p)^{20};].

Die rechte Seite sagt dir: Das ist die Gegenwahrscheinlichkeit ("1-") davon, dass das gesuchte Trikot nicht im ersten Deckel ist (1-p) und nicht im zweiten usw. bis zum zwanzigsten. Also die Gegenwahrscheinlichkeit von (1-p)^20.
Und das ist sofort einsichtig: Denn das Gegenteil von "mindestens einmal dabei" ist "keinmal dabei".

Aber häufig fällt einem der einfachere Lösungsweg erst vor die Füße, wenn man einen Umweg benutzt hat und sieht, wo man dabei gelandet ist.

Gruß, mike


Zuletzt bearbeitet von M_Hammer_Kruse am 07 Apr 2013 - 11:13:54, insgesamt einmal bearbeitet
maxderp
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Anmeldungsdatum: 07.04.2013
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 07 Apr 2013 - 11:08:34    Titel:

Mein Zwischenergebnis war 0,86486942.. die elfte Potenz davon ist 0,2025..
Ich habe einfach wie besagt eine Summenformel benutzt, mit n=20 und k=0 für (10/11)^k*1/11

P.S.: Fehler gefunden, ich hätte wohl nur bis 19 gehen müssen, wenn ich bei 0 anfange.
P.P.S.: Oh ja diese Lösung wäre wohl die einfachere gewesen.

Vielen Danke für die nette Hilfe.
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