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Folgen: Grenzwerte, Monotonie bestimmen
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sevenelf
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Anmeldungsdatum: 17.11.2012
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2013 - 21:01:14    Titel: Folgen: Grenzwerte, Monotonie bestimmen

Hallo,

meine Aufgabe:
Schaltet man n Vierpole, die jeweils aus zwei gleichen Widerständen R bestehen, in Kette, so ergibt sich als Eingangswiderstand dieser Schaltung der Wert a_n.

Untersuchen Sie die Folge a_n mit a_1 = 2R, a_n+1 = R + (R*a_n/R+a_n)

auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz.
Geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an.

Ich hoffe mir kann jemand helfen. Wie sollte ich diese Aufgabe angehen? Rolling Eyes
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8164
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 12 Apr 2013 - 21:46:48    Titel:

Die Folge ist ja rekursiv definiert: a_{n+1}=f(a_n). Aus der Rekursionsformel geht hervor, dass der nächste Vierpol immer dazugeschaltet wird, indem einer seiner Widerstände parallel an den Eingang der schon vorhandenen Schaltung gelegt wird und der andere in Reihe davor.

Alle drei Eigenschaften lassen sich meist am einfachsten nachweisen, wenn du die Folge ohne Rekursion in der Form a_n=f(n) darstellst. Rechne darum erstmal einige Folgenglieder aus und versuche, eine rekursionsfreie Formel aufzustellen.

Gruß, mike

P.S.:
Das mit der rekursionsfreien Formel ist nicht ganz so einfach. Die ist recht aufwendig mit √5 und Potenzen von n. Denn beim Berechnen der ersten Folgenglieder merkst du, dass die Folge mit der Fibonnacci-Folge verwandt ist.
Und da kannst du einige der bekannten Eigenschaften der Fibonnacci-Folge nutzen, um die drei gefragten Eigenschaften zu zeigen oder auszuschließen.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 17 Apr 2013 - 23:55:46    Titel:

Wenn Du die geschlossene Form nicht heraus bekommst:

Berechne doch mal die ersten paar Folgeglieder.
Was vermutest Du bzgl. der Monotonie? Fallend? Steigend?

Beweise Deine Vermutung mittels Induktion.

Vermutest Du einen Grenzwert?

Beweise den Grenzwert mittels Epsilon-Delta-Kriterium.
Den Nachweiß des Grenzwertes habe ich jetzt nicht durchgecheckt.
Nur so eine Idee, wie ich vorgehen würde.

Ja okay. Very Happy Für das E-D-Krit. muss man ja den Grenzwert erstmal raten.
Da kein Mensch auf diese Zahl kommt (Grenzwert: (1+sqrt(5))*R/2 ), kannst Du den Grenzwert auch anders ausrechnen, wenn auch unsauber, indem Du für hinreichend große n a_n+1 = a_n annehmen kannst.
Allerdings brauchst Du davor noch den Nachweiß der Beschränktheit.

Das kannst Du aber, wegen der Monotonie (welche?) und den Aufbau der Folge leicht folgern. Wie?
Viel Erfolg.
sranthrop
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 18 Apr 2013 - 11:03:42    Titel:

Vielleicht noch eine kleine Ergänzung zur Berechnung des Grenzwertes:

Bei rekursiven Folgen ist der nämlich sehr einfach zu bestimmen; Deniz hat die Idee eigentlich schon genannt. Du musst aber zuerst nachweisen, dass die Folge überhaupt konvergiert. Dann kannst du den (nun als existent nachgewiesenen) Grenzwert z. B. mit a bezeichnen. Nun kannst du auf beiden Seiten deiner Rekursionsvorschrift den Grenzübergang n->oo machen, und den Limes auf der rechten Seite in die Gleichung reinziehen. Das darfst du nun, weil du schon bewiesen hast, dass die Folge konvergiert. Das Reinziehen folgt dann aus den Rechenregeln konvergenter Folgen. Du erhälst dann eine (meist quadratische) Gleichung, die du nach a auflösen kannst. Eventuelle unsinnige Lösungen dieser Gleichung sind auszuschließen (z.B. wenn eine Lösung negativ ist, obwohl alle Folgenglieder positiv sind und damit auch a nichtnegativ sein muss...)

LG sranthrop
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