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Sinus-/Kosinusfunktion am Beispiel
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_Fallen_Leaves_
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Anmeldungsdatum: 14.04.2013
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2013 - 19:38:08    Titel: Sinus-/Kosinusfunktion am Beispiel

Hallo, wir haben neulich in Mathe die Sinus-/Kosinusfunktion besprochen und eine Kleinigkeit davon ist mir noch unklar und zwar hatten wir neulich eine Übung gemacht:

Gegeben war f(x)=(sin x)² = sinx · sinx

So und jetzt sollten wir davon die Nullstellen berechen,wozu wir aufgeschrieben haben,dass allgemein die NS = k · π (k ∈ Z) sind.

Als Lösung davon haben wir dann rausbekommen:
x1= -2π, x2= -π, x3= 0, x4=π, x5= -2π

Dann sollten wir die Ableitung von f(x) bestimmen um die Extrema herauszufinden:
f '(x)= 2 · sinx · cosx
f '(x) wurde dann für die Extrema 0 gesetzt: f '(x)=0,wenn sinx=0 oder cosx=0

Dann haben wir die Nullstellen von f '(x) bestimmt und dabei die obige Formel angewendet und verändert(NS = k · π):
NS= k/2 · π
Wodurch diese Nullstellen rauskamen:
x1= -2π, x2= -3/2π, x3= -π/2, x4= -π, x5= 0, x6= π/2, x7= π, x8= 3/2π, x9= 2π

So und jetzt das was ich nicht verstanden habe:
Wie kommt man von der allgemeinen Formel (NS = k · π) auf einmal auf NS= k/2 · π
und wie muss man die z.B. bei anderen Beispielen abändern,damit das richtige Ergebnis rauskommt?
Ich versteh diese Formel einfach nicht und wie man die anwenden kann Sad

Ich hoffe ihr könnt mir helfen..
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2013 - 20:10:06    Titel:

Um die Nullstellen von f'(x)=2*sin x*cos x zu ermitteln, hast du zwei Möglichkeiten.

Erstens:
Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist.
2 ist nie null.
sin x verschwindet bei x=l*π.
cos x verschwindet bei x=(l+1/2)*π
Alles in allem: Die Funktion hat bei allen ganz- und bei allen halbzahligen Vielfachen von π den Wert null: x_n=(k/2)*π.

Zweitens:
Es ist 2*sin x*cos x=sin(2x).
Ein Sinus verschwindet bei ganzzahligen Vielfachen von π: 2x_n=k*π.
Also: x_n=(k/2)*π.

Gruß, mike
supernova85
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Anmeldungsdatum: 13.03.2013
Beiträge: 312

BeitragVerfasst am: 14 Apr 2013 - 20:20:17    Titel:

f'(x)=2*sin(x)*cos(x)

D.h. f' ist gleich Null wenn sin(x) (x aus k*pi) oder cos(x) (x aus (k+0.5)*pi) gleich Null ist. Die Vereinigung beider Mengen liefert: f'(x) ist gleich Null wenn x aus k/2*pi ist.

Zitat:
wie muss man die z.B. bei anderen Beispielen abändern,damit das richtige Ergebnis rauskommt?


Du muss die Periodizität der Funktionen und ihren Verlauf innerhalb einer Periode kennen. Der Rest ergibt sich durch logische Folgerungen. Z.B. bei sin(x)*cos(x) muss du die Vereinigung aus den beiden Nullstellenmengen bilden.
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