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Taylorpolynom 2. Grades
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polly-nomeal
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Anmeldungsdatum: 09.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 18:50:12    Titel: Taylorpolynom 2. Grades

Hallo!

Ich habe schon diverse Themen durchgestöbert und stundenlang gerechnet, aber irgendwie bekomme ich es leider dennoch nicht selbst gebacken.

(Bitte erklären für Doofe - ich bin Bio-Student Razz)

Also - es geht um ein Taylorpolynom 2. Grades - mehr als zwei Ableitungen brauche ich also gar nicht. Ich soll jetzt also für

a) f(x) = ln(1+x) im Entwicklungspunkt x0 = 0 das Taylorpolynom aufstellen und damit dann Näherungen für ln 1.1 und ln 0.9 bestimmen.

desgleichen für

b) f(x) = 1/ (1+x) bei x0=0 und dann einen Näherungswert für 1/0.95 .

Für das zweite Taylorpolynom gilt ja P2(x) = f(0) + f'(0)*x + 1/2*f'(0)*x^2 .
Also wäre toll wenn mir jemand das mal vorrechnen könnte, auch mit den Ableitungen - irgendwie sind meine Ergebnisse immer krumm und schief.

Danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 19:13:56    Titel:

a) Die Ableitungen

f^(0)(x) = ln(1+x)
f^(1)(x) = 1/(1+x)
f^(2)(x) = -1/(x+1)^2

b) Die Ableitungen

f^(0)(x) = 1/(1+x)
f^(1)(x) = -1/(x+1)^2
f^(2)(x) = 2/(x+1)^3

Und jetzt heißt es einfach in die Formel

t(x) = sum_{k=0}^n f^(0)(0)/k x^k

einsetzen und gar ist es.
polly-nomeal
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Anmeldungsdatum: 09.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:00:09    Titel:

Schonmal vielen Dank! Könntest Du bitte die zweite Ableitung von b) im Detail zeigen? Ich komme da auf (2x + 2) / (x^2 + 2x +1)^2

Danke!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:03:30    Titel:

f^(2)(x)
= (f^(1)(x))'
= (-1/(x+1)^2)'
= (-1 (x+1)^(-2))'
= -1 * -2 (x+1)^(-3) * 1 =
= 2 / (x+1)^3
polly-nomeal
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Anmeldungsdatum: 09.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:15:31    Titel:

Danke, war ich doof! Shocked
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:16:52    Titel:

Es heißt übrigens "poly-nomial" Smile
Whoooo
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Valued Contributor


Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:22:11    Titel:

mal ne frage am rande: muss man zur bestimmung des restgliedes (nach dem hier anscheinend nicht gefragt ist) nicht normalerweise noch die dritte ableitung bilden?
polly-nomeal
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Anmeldungsdatum: 09.07.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 09 Jul 2005 - 20:34:37    Titel:

@ Algebra:
http://www.albinoblacksheep.com/flash/einstein3


Da kommt mir leider noch eine Frage:
für b) bekomme ich als P2(x) = x^2 - x +1 heraus.
Aber die Annäherungswerte stimmen dann überhaupt nicht.

Für a) habe ich P2(x) = x - 1/2 * x^2, was auch wunderbar funktioniert.
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