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Drehimpulsoperator, Bahndrehimpuls, Spin - Anschauung
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Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 26 Apr 2013 - 15:26:39    Titel: Drehimpulsoperator, Bahndrehimpuls, Spin - Anschauung

Hey ihr lieben!
Wir machen grad das eigentlich schöne Thema Quantenmechanik in der Vorlesung und damit ich besser meine Probleme damit erklären kann, werd ich mal sagen wie wir vorgegangen sind, was ich weiß und wissen möchte:

Vorerst: Diese ganze Bra-ket Notation hatten wir noch nicht, deswegen kann ich damit leider nichts anfangen:P

Also, wir haben angefangen mit Welle-Teilchen-Dualismus und Überlegungen von DeBroglie bezüglich massebehafteter Teilchen, denen ja auch eine Wellenlänge zugeordnet sein sollte. Über seine Gleichung hat er das ja auch getan..soweit so gut...nun kann man in die normale Wellengleichung von Licht ja die Frequenz über die Energie ausdrücken, und die Energie über den Impuls...schwups, da haben wir den Ansatz der Quantenmechanik..soweit sogut. Es ging weiter mit der lokalisierbarkeit und wir haben eben die Spektralfunktion unters Integral gepackt - soweit noch ganz verständlich eigentlich. Nun haben wir die Schrödingergleichung "abgeleitet", also einfach so eine Wellenfunktion mal n bisschen mit Operatoren vollgepumpt und dann war die auch schon da...war auch "logisch".
Nun zu meinen größeren Sorgen: Die Lösung dieser Gleichung beinhaltet, zumindest in Kugelkoordinaten, n,l,m...
Dass n mit der Energie in verbindung steht ist mir klar, aber inwiefern l und m dann , rein abgeleitet aus der Gleichung, auf den Drehimpulsoperator und die z-Komponente führen nicht. Alles was ich im Internet dazu gefunden habe, hat gleich mit "Kommutator vom Drehimpulsoperator" angefangen...wobei ich ja nichtmal weiß wie man den Überhaupt aus der Schrödingergleichung rausbekommt, genauso wenig ersichtlich ist es für mich , wie dieser mit dem eigentlichen Drehimpuls zusammenhängt. In Experimentalphysik IV (Atomphysik) machen wir zeitgleich das gleiche, wobei eben die andere Vorlesung vorausgesetzt wird..die aber eben nicht immer auf dem gleichen Stand ist (was auch entschuldig wurde). Da kam das Stern-Gerlach Experiment ins Spiel...dabei frage ich mich: Warum kann man mit einem inhom. Magnetfeld die Atomstrahlen ablenken (Spin mal auser Acht gelassen)?
Warum kann die Drehimpulsache nicht parallel zu der z-Achse sein..ich kann doch die Quantisierungsachse beliebig wählen?

Zusammengefasst sind meine Fragen dazu:

- Warum gehen wir, zum Beispiel bei einem Kastenpotential, einfach von einer Wellenfunktion aus (Also einfach eine Lösung der Sgleichung), wenn wir doch vorher extra Sachen wie "Gaussches Wellenpaket" etc. besprochen haben...wann braucht man denn nun was? Was hat das mit der Lokalisierbarkeit zu tun?

- Wo geht die Unschärferelation hervor?

- Wie krieg ich den Drehimpulsoperator aus der Schrödingergleichung? (wichtige Frage)

- Warum hängt gerade m mit der z-Komponente zusammen? (wichtige Frage)

- Wenn die Quantisierungsachse doch beliebig ist, warum kann dann der Drehimpuls nicht parallel zur z-Achse sein?



Würde mich echt freuen etwas Ereuchtung zu finden...das ganze frustriert mich doch ziemlich, zumal ich nicht mit der Bra-ket notation zurecht komme und im Inetnert alles nur in der Schreibweise ist...

Grüßle
und Danke!
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2140

BeitragVerfasst am: 26 Apr 2013 - 16:10:25    Titel: Re: Drehimpulsoperator, Bahndrehimpuls, Spin - Anschauung

Quanty hat folgendes geschrieben:

- Warum gehen wir, zum Beispiel bei einem Kastenpotential, einfach von einer Wellenfunktion aus (Also einfach eine Lösung der Sgleichung), wenn wir doch vorher extra Sachen wie "Gaussches Wellenpaket" etc. besprochen haben...wann braucht man denn nun was? Was hat das mit der Lokalisierbarkeit zu tun?

Es kommt drauf an, was das Problem ist das Du untersuchst. Zu allererst musst Du natürlich die Lösungen der Schrödingergleichung und die zugehörigen Energieeigenwerte kennen, bevor Du daraus ein Wellenpaket formen kannst. Dieses Wellenpaket ist dann als eine lineare Superposition dieser Lösungen wieder eine Lösung der Schroedingergleichung, aber nicht mehr zu einem bestimmten Energieeigenwert.
Quanty hat folgendes geschrieben:

- Wo geht die Unschärferelation hervor?

Am besten aus Überlegungen zu Erwartungswerten von Operatoren und von deren Varianzen. Man kann dies aber auch sehen, wenn man z.B. ein Gausssches Wellenpaket Fourier transformiert und sich die "Breiten" des Wellenpakets und der Transformierten anguckt.
Quanty hat folgendes geschrieben:

- Wie krieg ich den Drehimpulsoperator aus der Schrödingergleichung? (wichtige Frage)

Der drehimpulsoprator (genauer: sein Quadrat) ist gerade der Winkelanteil des Laplace-Operators.
Quanty hat folgendes geschrieben:

- Warum hängt gerade m mit der z-Komponente zusammen? (wichtige Frage)

Ich versteh die Frage nicht. Man löst die Schrödingergleichung, d.h. findet ihre Eigenfunktionen und Eigenwerte und stellt fest dass diese sich nach Quantenzahlen klassifizieren lassen n,l,m,... (je nach Aufgabenstellung).
Quanty hat folgendes geschrieben:

- Wenn die Quantisierungsachse doch beliebig ist, warum kann dann der Drehimpuls nicht parallel zur z-Achse sein?

Kann er. Im Stern-Gerlach-Experiment wird aber eine Richtung explizit getestet, wie man die nennt ist egal.
Quanty hat folgendes geschrieben:

Würde mich echt freuen etwas Ereuchtung zu finden...das ganze frustriert mich doch ziemlich, zumal ich nicht mit der Bra-ket notation zurecht komme und im Inetnert alles nur in der Schreibweise ist...

Wenn Du so willst ist Bra-Ket ist einfach eine "vornehme" Schreibweise für Vektoren und komplex transponierte Vektoren ( https://de.wikipedia.org/wiki/Bra-Ket ). Der Vorteil ist, das man endlich dimensionale und unendlich dimensionale Vektorraeume schoener und kompakter darstellen kann
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2013 - 00:15:13    Titel:

vielen Dank für die schnelle Antwort.Smile

warum ist gerade der Winkel Anteil der Schrödingergleichung der drehimpulsoperator im Quadrat ? Woher weiss man dass dieser den Drehimpuls gibt? woraus ergibt sich der Zusammenhang zwischen L und M wobei jede Quantenzahlen meine?

Grüsle
Martin
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2140

BeitragVerfasst am: 27 Apr 2013 - 02:45:07    Titel:

Quanty hat folgendes geschrieben:

warum ist gerade der Winkel Anteil der Schrödingergleichung der drehimpulsoperator im Quadrat ? Woher weiss man dass dieser den Drehimpuls gibt?

Einsetzen und ausrechnen. Ist bisschen Rumgerechne aber ohne Tricks und nicht schwer.
Zitat:
woraus ergibt sich der Zusammenhang zwischen L und M wobei jede Quantenzahlen meine?

Wieso es die Quantenzahlen l und m gibt (und wieso m zwischen -l und l sein muss)?
-> 'Einfach' Eigenfunktionen und -werte fuer L^2 (Drehimpuls^2) ausrechnen. Im Endeffekt ist es einfach Repräsentationstheorie für SO(3)~SU(2), da der Drehimpuls dieser Algebra genügt.
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2013 - 14:56:27    Titel:

danke für die Antwort Smile das größte Problem das ich allerdings noch habe ist immer noch die Quantisierungsachse...wie beim stern Gerlach versuch die z Achse...
Ich wähle diese Achse und sehe : alles schön , muss den spin zur Hilfe holen...
Aber warum ist denn diese Achse, zu der ich sage, dass der spin nur diskrete Werte annehmen kann, gerade die z Achse...wenn ich die Achse nehme bei der der spin geraden auf der Achse liegt habe ich ja ein problem---es heißt doch dass der spinn immer nur bestimmte Winkel ungleich 0 damit einnimmt?
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2140

BeitragVerfasst am: 02 Mai 2013 - 19:23:07    Titel:

Du kannst als Achse wählen was Du möchtest. Aber die Kraft die auf ein Teilchen wirkt ist
[; \vec F \propto \vec \nabla (\vec S \cdot \vec B) ;]
d.h. wenn Dein B-Feld in z-Richtung ist, dann tritt nur der Operator S_z auf. Darum ist es zweckmäßig die z-Achse zu benutzen.
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