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Dimension und Basis eines aufgespannten Unterraums
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trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 10:59:14    Titel: Dimension und Basis eines aufgespannten Unterraums

Hi,

ich habe in meiner Aufgabe vier Vektoren, die einen Unterraum
U = {v1;v2;v3;v4) \in R^4 aufspannen.

v1 = (1 1 3 2)^T
v2 = (4 3 2 3)^T
v3 = (-7 -5 -1 -4)^T
v4 = (6 4 -2 2)^T

Nun soll ich halt die Dimension und eine Basis des von den
Vektoren aufgespannten Unterraums bestimmen.

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich das machen soll. :(

Bin dankbar fuer jede Hilfe.

Ciao....
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 11:14:06    Titel:

die dimension eines VR ist die maximale anzahl von linear unabhängigen vektoren im VR, oder die anzahl der vektoren in einer basis vom VR.
das bedeutet, dich interessiert die lineare (un-)abhängigkeit der vier vektoren v1 bis v4.

da ich deine aufgabe nicht vorrechnen mag, hier ein beispiel aus dem R^3:
v1=(1,3,-1)^T
v2=(2,4,0)^T
v3=(3,1,4)^T

v1 bis v3 linear unabhängig würde bedeuten, dass k1*v1+k2*v2+k3*v3=0 nur für k1=k2=k3=0.
obige gleichung gibt dir ein gleichungssystem für die k's.
1. gleichung: k1*1+k2*3+k3*(-1)=0
2. gleichung: k1*2+k2*4+k3*0=0
3. gleichung: k1*3+k2*1+k3*4=0

das gleichungssystem lösen zeigt dir, ob es nur die lösung k1=k2=k3=0 gibt, oder obs noch andere gibt.
falls noch andere => v1 bis v3 nicht linear unabhängig, also spannen die vektoren nicht den ganzen R^3 auf, sondern nur (maximal) 2-dimensionalen unterraum.
ob das nun sogar nur ein 1-dimensionaler UVR ist, oder nicht, siehst du an der lösungsmenge des gleichungssystems (wieviele k's sind frei wählbar).

viel spass! Smile
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 11:23:24    Titel:

hehe, dankeschoen.

ich kam irgendwie mit dem Begriff "Dimension" nicht klar.

vielen Dank für die Erläuterung.

cu...
flojoe
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 47
Wohnort: Metropole Lüdenscheid ;)

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2005 - 12:12:40    Titel:

moin...hab da auch mal ne frage zu

ich habe vier Vektoren, die einen Unterraum
U = <{v1;v2;v3;v4}> in IR^5 aufspannen.

hab duch ausrechnen jetzt rausbekommen das k_4 frei wählbar ist und die lösungsmenge ist IL={(k_4, -k_4, -k_4, k_4) | k_4 € IR^5}
das heißt ja das die vektoren lin. abhängig sind. wie komme ich jetzt auf die dimension von U? also so wie ich das jetzt verstanden habe wär die dimension 3, da 3 vektoren lin. unabhängig sind??!?!?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2005 - 12:32:38    Titel:

genau, U = <{v1;v2;v3;v4}> = <{v1,v2,v3}>, da v4 schon in der linearen hülle von v1 bis v3 liegt, ist v4 überflüssig Smile
wenn nu v1 bis v4 lin. unabhängig sind, bilden sie eine basis von U und die dimension ist dann 3.
flojoe
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 47
Wohnort: Metropole Lüdenscheid ;)

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2005 - 12:35:10    Titel:

ok dankee Very Happy
flojoe
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 47
Wohnort: Metropole Lüdenscheid ;)

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2005 - 16:39:02    Titel:

hab das nochmal durchdacht....warum liegt denn v4 in der linearen hülle von v1-v3???
und muss ich nicht noch zeigen dass <{v1, v2, v3}> ein erzeugendensystem ist
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 10 Dez 2005 - 17:37:12    Titel:

wenn v1 bis v4 lin abhängig
<=> esistieren a,b,c mit v4 = a*v1 + b*v2 + c*v3
<=> v4 element <{v1,v2,v3}>
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