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Winkel für Kollision
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Caoscrischen
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Anmeldungsdatum: 24.05.2009
Beiträge: 170

BeitragVerfasst am: 09 Mai 2013 - 20:06:28    Titel: Winkel für Kollision

Moin!
Folgende Situation: Es gibt zwei Teilchen A und B. Zum Zeitpunkt t=0 befindet sich Teilchen a an der Position x=0 , y=30m. Teilchen A hat eine konstante Geschwindigkeit von 3m/s in positive x-Richtung. Teilchen B ist zum Zeitpunkt t=0 im Koordinatenursprung und hat keine Anfangsgeschwindigkeit. Teilchen B beschleunigt jedoch mit 0,4m/s².
Aufgabe: Wie groß muss der Winkel c zwischen der Bewegungsrichtung von B und der positive x-Achse sein, damit A und B kollidieren?

Im folgenden lasse ich Einheiten weg um es übersichtlich zu halten (sollte alles aus der Angabe ersichtlich sein), ex und ey sind die Einheitsvektoren in x- bzw. y-Richtung.

Zuerst habe ich die Bewegungsgleichungen aufgestellt. Für Teilchen A recht einfach:
s(t)=30 ey + 3*t ex
Für Teilchen B haben wir die Beschleunigung
a(t)=0,4*cos(c) ex + 0,4*sin(c) ey
Durch zweifaches Integrieren erhält man
s(t)=0,2*t²*cos(c) ex + 0,2*t²*sin(c) ey
Mit der Überlegung das bei einer Kollision sowohl x- als auch y-Koordinate gleich sein müssen erhalte ich zwei Gleichungen:
I) 3*t=0,2*t²*cos(c)
II) 30=0,2*t²*sin(c)
Wenn ich II) nach c auflöse erhalte ich
c=arcsin(150/t²)
Wenn ich dies in I) einsetze, cos(arcsin(a))=sqrt(1-a^2) verwende und auflöse erhalte ich
225=t²-150/t
Dies hat für t>0 allerdings keine reellen Ergebnisse.
Wenn ich es andersrum mache, II) nach t auflöse und in I) einsetze erhalte ich
1,5*sin(c)=sin^2(c)*cos^2(c)
Dies ist aber nur für 0 bzw 2pi erfüllt, was im Kontext der Aufgabe aber keinen Sinn ergibt.
Wo liegt also mein Fehler?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8114
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BeitragVerfasst am: 09 Mai 2013 - 22:01:36    Titel:

Beide Wege führen zum Ziel (t=10√3, sin(c)=1/2), aber du hast dich jedesmal verrechnet.

Im ersten Fall muss es 225=t²-150/t² heißen, im zweiten 1,5*sin²(c)=sin(c)*cos^2(c).

Gruß, mike
Caoscrischen
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Anmeldungsdatum: 24.05.2009
Beiträge: 170

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2013 - 10:43:58    Titel:

Oh man, da hast du natürlich recht Sad
Wie kommt man dann am einfachsten auf sin(c)=1/2 ? Habe Wolfram Alpha gefragt und der gibt mir eine riesige Rechnung mit Weierstrass-Substitution und co Shocked . Gibt es da auch einen einfacheren Weg?
Für t gibt Wolle übrigens nicht 10*sqrt(3) aus.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8114
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2013 - 13:25:24    Titel:

Zitat:
Habe Wolfram Alpha gefragt

Der Tischler lernt auch erst mit der Hand zu hobeln, ehe er die Hobelmaschine benutzen darf.
Wer Wolfram Alpha fragt, ehe er weiß, wie man es selber macht, dem stellen sich dann solche Fragen.

[;(I)\;\; 3t=\frac{1}{5}\cdot t^2 \cos c;]
[;(II)\;\; 30=\frac{1}{5}\cdot t^2 \sin c;]

[;(I*)\;\;15=t\cos c;\;\;\;225=t^2\cos^2 c ;]
[; (II*)\;\;t^2=\frac{150}{\sin c};]

[;225=\frac{150}{\sin c}\cdot\cos^2 c;]

[;\frac{3}{2}=\frac{\cos^2 c}{\sin c}=\frac{1-\sin^2 c}{\sin c}=\frac{1}{\sin c}-\sin c;]

[;\sin^2 c+\frac{3}{2}\sin c-1=0;]

Gruß, mike

P.S.: Und was sagt dir WA für t?


Zuletzt bearbeitet von M_Hammer_Kruse am 11 Mai 2013 - 13:49:02, insgesamt einmal bearbeitet
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8114
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2013 - 13:54:16    Titel:

Das (was du wieder gelöscht hast, während ich diesen Beitrag hier schrieb) ist ja genau das, was ich in der vorletzen Zeile stehen habe.

Auch da gilt: erst selber können, dann die Technik bemühen. sich einen Überblick über die Existenz von Lösungen zu verschaffen gehört zum Handwerk. Das sollte man selber können.

Um trigonometrische Gleichungen zu lösen, gilt die Strategie: alles Winkelfunktionen auf eine einzige zurückführen. Weil sich hier ein sin c heraushebt, bietet sich an cos²c durch 1-sin²c zu ersetzen, weil man dann keine Wurzeln in die Gleichung bekommt.

Gruß, mike
Caoscrischen
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Anmeldungsdatum: 24.05.2009
Beiträge: 170

BeitragVerfasst am: 11 Mai 2013 - 16:48:21    Titel:

Ok, die Schritte die du jetzt noch geschrieben hast waren auch nicht das Problem, die habe ich auch noch selber beim rumrechnen hinbekommen. Ich war nur zu blind zu sehen, dass sich der letzte Ausdruck dann geschickt faktorisieren lässt und man die Lösungen so direkt ablesen kann.
Manchmal steht man aber auch auf dem Schlauch... Embarassed
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