Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Zusammenhang lagrange-Resolvente / Galois-Gruppe ?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Zusammenhang lagrange-Resolvente / Galois-Gruppe ?
 
Autor Nachricht
maze77
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 28.09.2012
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 10 Mai 2013 - 11:09:47    Titel: Zusammenhang lagrange-Resolvente / Galois-Gruppe ?

Hallo,

Ich bin mathematischer Laie. Während meines Informatikstudiums wurde mein Interesse an gewissen Teilen der Mathematik geweckt, bzw. vor allem an der Algebra. Obwohl dies schon einige Jahre her ist, konnte ich meine Faszination dafür nie richtig "abschütteln", aber leider kann ich das Thema noch immer nicht so richtig durchdringen. Wobei ich klar anmerken möchte, dass es mir um einen intuitiven Zugang geht.

Ich weiss, dass Polynomgleichungen bis und mit Grad 4 mit allgemeinen Formeln auflösbar sind, während dies ab Grad 5 nicht mehr möglich ist.
Soweit ist es verstehe, hat das damit zu tun, dass es für die lösbaren Gleichungen n-ten Grades stets ein Gleichungssystem mit n-1 Unbekannten in den n Wurzeln gibt, und diese n-1 Unbekannten Ausdrücke in den Wurzeln sind, welche sich als Nullstelle einer Hilfsgleichung auffassen lassen.
Nehmen diese Ausdrücke unter allen möglich Vertauschungen der Wurzeln nur n-1 unterschiedliche Werte an, so ist die Hilfsgleichung symmetrisch in den Wurzeln der Ursprungsgleichung und ihre Koeffizienten somit Ausdrücke in den Koeffizienten der Ursprungsgleichung. Dadurch lassen sich die Ausdrücke berechnen und das ursprüngliche Gleichungssystem liefert die n Wurzeln.
Ab Grad 5 kann kein Ausdruck gefunden werden, welcher unter allen möglichen Vertauschungen nur 4 Werte annimmt. Im Wesentlichen ist das Abels Argumentation in seinem Unmöglichkeitsbeweis für die Auflösbarkeit der quintischen Gleichung. Habe ich das ungefähr korrekt verstanden, oder bringe ich bereits hier alles durcheinander?

Die Galoisgruppe enthält alle Permutationen von n Wurzeln eines Polynoms P, für die gilt: für jedes erdenkliche Polynom h gilt: ist h(x1,x2...xn) Nullstelle des Polynoms h, dann ist auch h(x(r(1),x(r(2),...x(r(n)) eine Nullstelle dieses Polynoms (die r sind Permutationen).
Hier habe ich bereits ein Verständnisproblem: Warum muss das für JEDES Polynom gelten? Würde nicht ein einziges Polynom genügen, um eine Resolvente zu konstruieren? Warum ist dann die Anforderung "für jedes gilt" statt "es existiert ein"?
Was ist der tiefere Zusammenhang zwischen Galoisgruppe und Ursprungsgleichung?

Der Zugang über die Theorie der Körpererweiterungen fällt mir schwer. Ich sehe darin überhaupt keinen Zusammenhang zu der Art und Weise, wie die Resolventen konstruiert werden.

Meine Quellen sind das Buch von Bewersdorff ("Algebra für Einsteiger"), das Buch "Der Beweis" und das Buch "4000 Jahre Algebra".

Danke im Voraus für alle sinnvollen Antworten.
maze77
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 28.09.2012
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 18 Mai 2013 - 18:12:52    Titel:

So, nach jahrelangem Suchen glaube ich, eine Quelle gefunden zu haben, welche meine Fragen beantwortet:

http://www.youtube.com/watch?v=hA9G9Y9pNFs

Hier wird der Auflösungsprozess wunderbar an einem simplen Beispiel erklärt: t^4 - t^2 - 2 = 0.
Die Wurzeln haben Teilsymmetrien: es sind dies sqrt(2), -sqrt(2),
sqrt(-1), -sqrt(-1). Die ersten beiden sind untereinander symmetrisch und die beiden letzteren. Die Galois-Gruppe ist { (), (12), (34), (12)(34) }.

Die Auflösung entspricht einem Faktorisierungsprozess in die beiden
Polynome t^2-2 und t^2+1.
Beide Polynome sind vollständig symmetrisch in den Wurzeln der Ausgangsgleichung und somit sind ihre Koeffizienten darstellbar durch deren Koeffizienten.

Die Galoisgruppe lässt sich hier also aufteilen in Teilmengen, die den Teilsymmetrien entsprechen. Diese Teilsymmetrieren entsprechen einer Faktorisierung und somit einer Komplexitätsreduktion der Ursprungsgleichung.
Lässt sich die Galoisgruppe nicht in solche Mengen aufteilen, so bedeutet das, das keine Faktorisierung möglich ist. Dann ist die entsprechende Gleichung nicht auflösbar in Radikalen.

Wenn ich das richtig verstehe, ist also die Definition der Galoisgruppe (JEDES Polynom muss unverändert bleiben unter den Vertauschungen) einfach eine Symmetriedefinition.

Habe ich das vom Prinzip her richtig verstanden?
maze77
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 28.09.2012
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 20 Mai 2013 - 16:22:54    Titel:

Hm, leider muss ich mich selber korrigieren...

In dieser Youtube-Playlist gibt es 3 Videos mit dem Titel "A cubic workout".
Dort wird im Detail der Auflösungsprozess gezeigt.
Und dieser Auflösungsprozess funktioniert im wesentlichen nach der Lagrange-Methode.

Eine Gleichung 3. Grades wird gelöst. Die elementarsymmetrischen Polynome haben unter allen Permutationen (allen Elementen von S3)
den gleichen Wert; sie sind vollständig symmetrisch.
Die Wurzeln selber haben i.A. unter jeder Permutation einen anderen Wert, sie sind vollständig unsymmetrisch. Dazwischen wird ein Polynom gesucht, welches unter bestimmten Permutationen den Wert behält und unter anderen wechselt, also teilweise symmetrisch ist. Dieses Polynom nimmt unter S3 nur 2 verschiedene Werte an. Man nimmt nun diese Werte als Wurzeln einer quadratischen Gleichung, deren Koeffizienten aus den Koeffizienten der Ursprungsgleichung bestimmbar sind, und erhält über ein lineares Gleichungssystem die Werte aller Wurzeln.
Also letztlich das gleiche wie bei Lagrange, wenn ich das richtig verstehe.

Was mir unklar ist: als Normalteiler von S3 wird Z3 verwendet. Das konstruierte Polynom ist invariant unter Z3. Das ist mir noch klar, es wurde ja speziell so konstruiert, dass dies aufgeht. Aber: woher kommt die Gewissheit, dass JEDES Polynom, das invariant unter Z3 ist, immer genau 2 verschiedene Werte annehmen kann? Es könnte ja sein, dass es unter den nicht in Z3 enthaltenen Permutationen mehrere Werte annimmt?
maze77
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 28.09.2012
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 02 Jun 2013 - 20:59:49    Titel:

Ich antworte mir mal wieder selbst. Aber wer weiss, vielleicht liest jemand mit und ist an der Antwort interessiert?

Wenn eine Funktion unter den Permutationen einer Untergruppe H
von Sn den gleichen Wert annimmt, so werden die anderen Werte, welche diese Funktion noch annimmt, unter jeweils gleichviel Permutationen erzeugt, wie H Elemente hat.

Der Grund für die gleichen Funktionswerte ist ja ein kommutativer Operator im Funktionsausdruck. Beispielsweise ergibt (x1+x2)-x3 den gleichen Wert wie (x2+x1)-x3. Aber der Ausdruck (x1+x3)-x2 hat einen anderen Wert. Es ist aber klar, dass hier wieder genau 2 Permutationen diesen anderen Wert erzeugen können (nämlich zusätzlich noch (x3+x1)-x2).

Zu dem Beispiel aus dem Video: die gewählte Untergruppe Z3 enthält 3 Elemente und die gewählte Funktion ist invariant unter diesen Elementen. Dann müssen die anderen Funktionswerte durch eine Menge an Elementen erzeugt werden, die ebenfalls Mächtigkeit 3 hat, und die disjunkt zu Z3 ist. Das können nur die Elemente in S3 sein, die nicht in Z3 sind.
juergen007
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 21.06.2013
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2013 - 08:34:21    Titel:

"Wenn eine Funktion unter den Permutationen einer Untergruppe H
von Sn den gleichen Wert annimmt, so werden die anderen Werte, welche diese Funktion noch annimmt, unter jeweils gleichviel Permutationen erzeugt, wie H Elemente hat.

Der Grund für die gleichen Funktionswerte ist ja ein kommutativer Operator im Funktionsausdruck. Beispielsweise ergibt (x1+x2)-x3 den gleichen Wert wie (x2+x1)-x3. Aber der Ausdruck (x1+x3)-x2 hat einen anderen Wert. Es ist aber klar, dass hier wieder genau 2 Permutationen diesen anderen Wert erzeugen können (nämlich zusätzlich noch (x3+x1)-x2).

Zu dem Beispiel aus dem Video: die gewählte Untergruppe Z3 enthält 3 Elemente und die gewählte Funktion ist invariant unter diesen Elementen. Dann müssen die anderen Funktionswerte durch eine Menge an Elementen erzeugt werden, die ebenfalls Mächtigkeit 3 hat, und die disjunkt zu Z3 ist. Das können nur die Elemente in S3 sein, die nicht in Z3 sind."
end of quote

ich weiss nicht wie man richtig quoted in den Forum aber ich bin ja auch neu;)
1. dieser youtube channel ist ausgezeichnet Danke!
2. Seien x1,x2,x3 Lösungen irgendeines Polynoms
Permutiere
1) p=x1+x2-x3 (e) sei =0
2) x2+x1-x3 (ab) ist auch 0
3) x1+x3-x2 (bc)
4) x2+x3-x1(cba)
5) x3+x1-x2(abc)
6) x3+x2-x1(ac)

dann sind ohne dass ich x1.2.3 kenne, nur 1 und 2 p-invariant.
sicher ist 3=5 und 4=6

Wir können IMHO hieraus schliessen, dass wenn terme 3,4,5,6 <> 0 sind. höchstens S_2 die Galoigruppe der Gleichung ist, die ich eben gar nicht kenne.

Alle algebraischen Gleichungen, die die Variablen a,b,c enthalten, müssen durch die Galoisgruppe invariant (Anm.: im Grundkörper) bleiben.

und umgekehrt:
Wenn es eine algebraiche Gleichung mit a,b,c gibt, die nicht
invariant in Q ist gegen eine Permutation p aus S3 ist, so ist p nicht Element der Galoisgruppe von (x-a)(x-b)(x-c).
Wonach du fragst sind die Abbilder aus den Nebenklassen der Z2 in S3. Z2 ist nicht normal in S3, da die Links -und Rechtsnebenklassen verschieden sind.
HTH
jürgen
maze77
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 28.09.2012
Beiträge: 160

BeitragVerfasst am: 01 Jul 2013 - 22:03:18    Titel:

Hallo juergen007,

zu 1.) gern geschehen Smile

ansonsten:
ich glaube langsam, dass es sich ungefähr so verhält:

man hat eine (unendlich grosse) Menge von symmetrischen Polynomen. Diese sind allesamt "bekannt" in dem Sinne, als sie durch die Koeffizenten der Gleichung berechenbar sind.
Obwohl diese Menge unendlich gross ist, enthält sie nicht alle möglichen Zahlen.
Nun kann man möglicherweise eine neue Menge konstruieren, welche partiell symmetrische Polynome enthält. Deren Werte sind zunächst unbekannt, aber: ist eine Potenz davon vollsymmetrisch, so lässt sich der Wert durch Wurzelziehen bestimmen.
Vielleicht könnte man stark vereinfacht sagen, dass der Lösungsweg darin besteht, sukzessive solche teilsymmetrischen Ausdrücke zu finden, deren Potenzen symmetrisch sind? Diese Mengen sind dann wahrscheinlich "Körper" und das Hinzufügen des Wurzelausdrucks ist das "Adjungieren"? Oder bringe ich alles durcheinander? siehe hierzu auch folgenden hochinteressanten Artikel: http://www.staff.uni-oldenburg.de/daniel.grieser/wwwpapers/Grundideen_Galois.pdf

Mir ist leider nach wie vor völlig unklar, wie man ohne überhaupt irgendwelche Polynome betrachten zu müssen, rein aus den Permutationen heraus sagen kann, ob es partiell symmetrische Polynome überhaupt geben kann.
Beispiel S5: wie gelangt man zu der Aussage, dass die Diskriminante (die antisymmetrisch ist und daher unter den 120 Permutationen nur 2 Werte annimmt) die einzige partiell symmetrische Funktion ist?
Für S4: die Funktion (x1+x2)*(x3+x4) nimmt unter S4 nur 8 verschiedene Werte an und bietet sich als Resolvente an.
Dennoch wird als Normalteiler stets die kleinsche Vierergruppe angegeben, die aber nur 4 Elemente enthält. Wohl sind die 3 Werte des Ausdrucks jeweils zu den 3 dieser Elemente (ohne id) zuordenbar, allerdings sind einige dieser Permutationen ja doch gar nicht in A4 (dem nächsthöheren Normalteiler) enthalten...warum muss es denn genau S4>A4>(kleinsche Vierergruppe)>(id) sein?
Und welche Rolle spielen eigentlich die Konjugationsklassen? Es heisst ja "cycle type determines conjugacy class". Aber die Konjugationsklassen generieren zumindest nicht für jedes Polynom die unterschiedlichen Werte; beispielsweise a+b-c nimmt unter (ab) den gleichen Wert an, unter (bc) aber einen anderen - doch beides sind Transpositionen und somit unter S5 in der gleichen Konjugationsklasse...ach ich krieg das nicht gebacken...
juergen007
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 21.06.2013
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 22 Jul 2013 - 20:43:56    Titel:

Hi!
leider habe ich dein Antwort übersehen, sry ich kriege keine email Benachrichtigung hier.
Bitte kurze notiz an juergen006@gmx.net.
ich muss sagen dass ich deine Fragen nicht ganz verstehe, und woher ist der Ausdruck a+b-c?
Ich habe 2 Threads über Polynome 4ten Grades geschrieben bzw. bin beteilgt.

und zwar:

http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=482280&hilightuser=24228
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=183478&start=0&lps=1355857#v1355857

Im ersten wird ausführlich auf Resolventen 3.ten und 4ten Grades eingegangen und die Galoisgruppe in Abhängigkeit von der Resolvente betrachtet.
Im 2ten betrachte ich ein Polynom 4 ten Grades, der erste Beitrag ist Mist im 2ten hab ich mich korrigiert.
vielleicht hilft das irgendwie deine Verwirrung über Permutationen zu klären.
Frag gerne nach oder schreib bei matheplanet, das krieg ich sofort mit, da sind viele gute Leute. Also ich will keinen abwerben gg
HTH
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Zusammenhang lagrange-Resolvente / Galois-Gruppe ?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum