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definition: extremum
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Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 17:53:31    Titel: definition: extremum

wie ist bitte die 'richtige' definition eines extremums? allgemein bekannt ist ja: f'=0, f''<>0. aber das langt ja nicht, denn wenn ich z.b. so ne einfache funktion wie x^4 hab, die bei x=0 eindeutig ein minimum hat, greift der satz ins leere (alle ableitungen in x=0 sind 0).
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:03:47    Titel:

Höhere Ableitungen zu Rate ziehen...

Oder mit Vorzeichenwechsel argumentieren...
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:06:13    Titel:

ja bei so einer funktion ist das klar, da weiss ich ja, dass da ein extremum sein muss. aber wenn ich irgend so ein monster habe, das ich mir nie im leben vorstellen oder skizzieren kann, würd mir ein allgemeingültiger satz schon wesentlich weiterhelfen.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:09:27    Titel:

http://de.wikipedia.org/wiki/Extremum
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:11:59    Titel:

aah.. hab mir den wiki-beitrag vorher durchgelesen und das einfach übersehen. danke für's mit-der-nase-drauf-stossen Wink
xytrath
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Anmeldungsdatum: 02.07.2005
Beiträge: 45

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:12:37    Titel:

ich hab das in der schule so gelernt, dass das dann ein sattelpunkt, bzw. trotzdem minimum maximum sein kann.
bei wikipedia sieht das ganze so aus:

hab ma nur die hinr. bed genommen, weil die notwendige eh klar ist:
Zitat:

Hinreichende Kriterien
Ist f zweimal differenzierbar, und gilt f''(x)<>0 , so hat f ein lokales Extremum. Ist f''(x0) > 0, so handelt es sich um ein lokales Minimum, ist f''(x0) < 0, um ein lokales Maximum.
Allgemeiner: f sei (n + 1)-mal differenzierbar, und es gelte
f'(x0) = f''(x0) = ... = f(n)(x0) = 0 und f(n+1)(x) <>0
Dann gilt:
(1) Falls n ungerade ist und f(n + 1)(x0) < 0 (bzw. f(n + 1)(x0) > 0), so hat f bei x0 ein relatives Maximum (bzw. Minimum).
(2) Falls n gerade ist, so hat f bei x0 kein lokales Extremum.



am beispiel x^4 ist klar, dass das ein minimum ist.

vierte ableitung f''''(xo)=f(3+1)(xo)>0, daraus folgt minimum.

bei x^3
f'''(x0) = f(2+1) > 0 => kein extremum, sondern so wie wir das früher nannten, Sattelpunkt

gruß
xytrath
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 10 Jul 2005 - 18:12:59    Titel:

Kein Thema...

Aber nicht doch auf die Nase haun... DAS TUT DOCH WEHHHHHHHH !!!
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