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LinA 1 - Völlige Verzweifelung - Matrizen, Abb, Basen, dim
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Nevertheless
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Anmeldungsdatum: 12.04.2013
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2013 - 11:21:05    Titel: LinA 1 - Völlige Verzweifelung - Matrizen, Abb, Basen, dim

Hallo ihr Lieben...

Ich bin völlig verzweifelt, trotz sorgfältiger Nacharbeit und Mitarbeit in den Übungen stehe ich völlig hilflos vor den Übungen für die Klausur.
Mir ist klar, dass hier nur geholfen wird, wenn deutlich wird, dass man selbst Ansätze & Gedanken liefert... Allerdings habe ich teilweise nicht mal die Aufgabe verstanden, geschweige denn irgendeine Idee, wie ich vorgehen sollte. Es wäre super toll, wenn sich jemand finden würde, der mir etwas hilft - ich würde diese Klausur so gerne bestehen, aber alleine habe ich keine Chance :/
Ich weiß, manche Fragen wirken ziemlich unbeholfen, das ist mir bewusst. Aber ich kann mein Wissen der Definitionen / Sätze einfach NULL anwenden...

Eine Frage hab ich unabhängig von den Aufgaben. Und zwar, wie ich mit dim(V) umgehen muss. Ich weiß, das ist die Mächtigkeit einer Basis vom VR V. Dimensionssatz etc sind mir bekannt. Vielmehr habe ich ein Problem mit der Vorstellung von Basen - die müssen so viele Vektoren enthalten, wie die Dimension ist. Aber wie komme ich darauf?

Aufgabe: Sei K Körper und G = GLn(K) (Also die invertierbaren Matrizen vom Typ (n,n) mit n Größer/Gleich 2) Ferner sei U = {x|x € G, x^T = x^-1). Zeige: u Untergruppe von G
Also: Dann soll ich zeigen, dass G nicht leer und abgeschlossen ist. (Muss ich auch zeigen, dass alle inversen drin sind? Die Bedingung kann ich ja weglassen, wenn |U| kleiner unendlich - aber steht ja eigentlich in der Bedingung, dass alle Inversen drin sind, oder?)
Nicht leer ist okay - die Einheitsmatrix ist ja auf jeden Fall in U.
Abgeschlossen: u,v € U => u*v € U soll immer gelten... Aber wie zeige ich das? Ich scheiter schon an den kleinsten Kleinigkeiten...

Aufgabe: Sei V ein K-VR und seien v1, v2...vn linear abhängige Vektoren aus V von denen je n-1 linear UNabhängig sind (mit 2 kleiner, gleich n)
Zeige: Es gibt c1...cn € K mit [SUMME (i=1 bis n) ci*vi=0] und ci ungleich 0 (für alle i€N).
Ich müsste dann ja nur den Vektor rausgreifen, der linear abhängig ist, also wo mindestens ein v ungleich 0 ist....

Aufgabe: Sei K ein Körper (2kl/gl n) mit V =K^n. Gegeben seien Unterräume U und W von V:
U= {1*a, 2*a, 3*a...n*a| a€K} und W= {a(Index1), a(Index2)...a(Index n) | ai €K mit a(Index n) = SUMME(i=1 bis n-1) von a(index i).
Bestimme die Dimension der Unterräume U, W, U-Schnitt-W, U+W (Beachte die Fälle n =3 und n ungleich 3)

Ich kann nicht davon ausgehen dass 1*a = a = a(Index 1) ist, oder? :/
Hätte ich die Dimension von U, dann wüsste ich, wie ich an die Schnitt& die Summen-Dimension komme....(dim (U1+U2) = Dim (U1) + Dim(U2) - dim (Schnitt).

Vermutlich hilft mir hier der Satz: Dim (V) = r(A) + dim (Kern(A)) oder? r(A) = dim (Bild (A)). Aber, da ich keinen Hom habe, kann ich den nicht anwenden oder?

Mir geht es nur sekundär um die Lösungen, primär würde ich gerne verstehen wie ich mit Basen, dim und Linearkombis umgehen darf/kann/muss... Es wäre also wirklich lieb, wenn sich jemand die Mühe machen würde, mich zu unterstützen... :/

Danke!
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2013 - 12:49:02    Titel:

Du zeigst z. B. u,v aus U -> u*v in U mittels Def.
Einfach stur Def. von U anwenden, etwa.

Du betrachtest hierfür

(uv)^T = v^T*u^T = v^-1 * u^-1 (weil u und v ja in U sind)
= (uv)^-1 und damit ist u*v ebenso in U.

Viel Erfolg bei dem Rest.
Nevertheless
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Anmeldungsdatum: 12.04.2013
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2013 - 13:05:33    Titel:

Vielen lieben Dank. Dies habe ich verstanden Smile *freu*

Kannst du vielleicht auch noch 1-2 Sätze zum Thema "Dimension" und "Basis" sagen? Vielleicht einen Tipp, wie ich damit umgehen kann? So nach dem Motto "Anleitung für Dumme - wie berechne ich dim(V)"
Wäre super!
PiQuadratSechstel
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Anmeldungsdatum: 06.09.2011
Beiträge: 130

BeitragVerfasst am: 11 Jul 2013 - 21:03:44    Titel:

Hallo,

ein paar Worte zur Dimension: die Dimension eines Vektorraums ist die Größe einer maximalen linear unabhängigen Menge (d.h. einer Menge, deren Elemente linear unabhängig sind, die aber um keinen Vektor vergrößert werden kann, ohne linear abhängig zu werden) oder (äquivalent) die Größe eines minimalen Erzeugendensystems (Beides kann als Definition für "Basis" dienen). Im Wesentlichen suchst du meistens eine solche Menge und zeigst eine der beiden Eigenschaften. Falls du eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen kennst, hilft dir der von dir zitierte Rangsatz weiter.

zu Aufgabe 2:
Welche Dimension hat V? Was folgt daraus (Beachte dazu meine Voranstehende Erklärung)

zu Aufgabe 3:
zwei verschiedene Ansätze für die Dimension von U:
1) maximales Erzeugendensystem: Wie viele Vektoren aus U brauchst du, um alle Vektoren aus U als Linearkombination darzustellen? (Tipp: Beachte, dass skalare Multiplikation Komponentenweise definiert ist und K ein Körper ist. (2*a soll hier wahrscheinlich für a+a stehen))

2) Über den Rangsatz: Betrachte die Abbildung f:V-->U mit f(a_1,a_2,....a_n)=(a_1, 2a_1, 3a_1,..., n*a_n)
1) Zeige, dass das ein Hom ist
2) Bestimme die Dimension des Kerns, die Dimension von V ist ja n.
3) Damit kannst du auch die Dimenson von U bestimmen.

für W kannst du analog vorgehen, als kleiner Tipp: Betrachte, wodurch sich ein Vektor aus W von einem Vektor des K^(n-1) unterscheidet und wie viel sich dadurch ändert.

Gruß und viel Erfolg,

Pi²/6
Nevertheless
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Anmeldungsdatum: 12.04.2013
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 09:30:32    Titel:

Aufgabe 2:
dim (V) in Aufgabe 2? Nicht die geringste Ahnung. Ich bräuchte ja eine Basis... n-1 unabhängige, also wo alle Koeffizienten 0 sind. Und einer ist abhängig. Also brauch ich n-1 Vektoren, in der Basis um die Menge darzustellen, oder? (Weil den einen abhängigen hab ich dann ja schon abgehandelt, oder? Und weil n-1 genau 1 kleiner ist, ist genau ein Vektor abhängig?
Ich verstehe glaube ich auch gar nicht, was ich überhaupt zeigen soll?! Sad

Aufgabe 3:
dim (U)... Eigentlich doch 1, oder? Weil mit <(1,2,3....n)> im allg. Fall und <(1,2,3)> im speziellen Fall hab ich doch alles abgehandelt, oder?
Für W find ich das schon schwieriger...
Bin nicht sicher, ob ich die Definition richtig verstehe.
Heißt das, dass für n=3 W= (a1, a2, a1+a2) ist?
Wenn ja, wäre die Basis für n=3 ja: <(1,0,1), (0,1,1)> oder?
Dann den Schnitt von beiden:
a*(1,2,3) = b(1,0,1) + c(0,1,1)) -> Dann kommt so "Müll" raus, wie a=2b, also ist U Unterraum von V?!
Und dann ist Der Schnitt von U und V ja U. und dim(U) ist immernoch 1?
dim (U+V) = 1 + n-1 -1 = n-1?

Aber wie gehe ich mit dem allgemeinen Fall um?
Basis von U= (1,2,3...n) und Basis von W= <(1,0,0....,1) + (0,1,0...1) + (0,0,1...1)>????
Dann dim (U) = 1 und dim(W) = n-1
Aber wie kann ich die denn jetzt gleichsetzen um an den Schnitt zu kommen? Sad
Den Tipp mit Unterschied von K^n zu K^n-1 verstehe ich leider gar nicht.


Noch eine andere Frage - wenn ich zeigen soll, dass A€ HomK(U,V) ist, was muss ich machen? Nur zeigen, dass A Abb von U -> V ist und dass gilt: A(k1*u + k2*v) = k1*A(u) + k2*A(v) (k aus K und u,v aus U)? Ist das dann schon fertig?


Vielen lieben Dank, dass du dir die Zeit nimmst, mir etwas zu helfen!
PiQuadratSechstel
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Anmeldungsdatum: 06.09.2011
Beiträge: 130

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 18:08:27    Titel:

zu Aufgabe 2:
Die Dimension eines Vektorraums ist wie bereits gesagt die Anzahl der Elemente einer Basis, wobei eine Basis
a) eine maximale Menge von linear unabhängigen Vektoren bzw.
b) ein minimales Erzeugendensystem ist.
Zu dem, was du zeigen musst: Mein Tipp war nicht ganz zielführend, weil ich deine Aufgabe etwas missverstanden hab. Trotzdem ist es sinnvoll, sich über die Dimension Gedanken zu machen. Wahrscheinlich musst du ausnutzen, dass in einem Vektorraum jede Basis die gleiche Größe hat.
(Ich bin davon ausgegangen, dass du lediglich zeigen musst, dass nicht für alle i ci=0 gilt). Werde nochmal drüberschauen...

zu Aufgabe 3:
Der Tipp mit K^(n-1) ist irrelevant, er hätte nur einen anderen Weg dargestellt, um auf dim(W) zu kommen.
dim(W) und dim(U) sind soweit korrekt.
Der Schnitt ist allerdings nur im Spezialfall n=3 tatsächlich U, sonst hat er Dimension 0.
Dein Ansatz ist gar nicht schlecht... überleg einfach, wie oft du jeden Vektor deiner Basis von W brauchst, damit die erste Zeile, zweite Zeile usw. mit dem Basisvektor von U übereinstimmt und wie dann die Zahl in der n-ten Spalte lauten müsste.

Gruß Pi²/6
PiQuadratSechstel
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Anmeldungsdatum: 06.09.2011
Beiträge: 130

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 18:28:16    Titel:

zu Aufgabe 2:
Der Tipp mit der Dimension stimmt so nicht... Ich meinte den Untervektorraum, in dem die Vektoren v1 bis vn liegen.
Das "Rausgreifen" von vn ist eine gute Idee.
Benutze jetzt noch, dass dieser Vektor linear unabhängig von n-2 anderen, aber linear abhängig von n-1 anderen Vektoren ist. Damit solltest du zeigen können, dass in einer Linearkombination von vn jeder der Vektoren v1 bis vn-1 vorkommt (d.h. sein Koeffizient nicht 0 ist)

Gruß
Pi²/6
Nevertheless
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Anmeldungsdatum: 12.04.2013
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2013 - 14:34:01    Titel:

Aufgabe 2: Da bin ich jetzt komplett raus, sorry.
Was soll ich denn überhaupt wirklich zeigen?
Summe V1 ...Vn-1=0 mit Koeffizienten ungleich 0?

Und ich verstehe auch bei Aufgabe 3 nicht, wie die Dim vom Schnitt 0 sein kann?
Dass U kein Unterraum mehr von V ist, wenn n nicht 3 ist, das erschließt sich mir. Der Schnitt ist ja eigentlich leer oder? Und damit dann dim = 0 oder?
Wie notiere ich das formal? So:? dim(USchnittV)= dim(leere Menge) = 0?

Und ich hätte noch eine Aufgabe. Die finde ich vom Verständnis her total logisch, doch ich scheitere daran, das ganze formal darzustellen...
f: U->V und g: V-> W sind Abbildungen
zu zeigen: g°f surjektiv und g injektiv, DANN ist f surjektiv.
ich habs im Kopf mit nem Widerspruchsbeweis gemacht: f nicht surjektiv. Dann ex. v€V für dass es kein u€U gibt mit f(u)=v.
Da g injektiv ist, gibt es also ein w auf das kein b abgebildet wird.
Da aber g°f surjektiv sein soll, müsste jedes w getroffen werden --> Widerspruch!
Also doch surjektiv.
Könntest du mir den Beweis einmal "formalisieren"? So, dass ich sozusagen nen "Leitfaden" hab für analoge Aufgaben?

(4) Nochmal die allgemeine Frage: Was muss ich zeigen, wenn ich zeigen soll, dass A € HomK(V,W) ist?
Reicht a) A(v) € W für v€V und b) A(k1*u + k2*v) = k1(A(u)) + k2(A(v))
Oder muss ich da noch was zeigen? Die beiden Sachen oben sind ja recht trivial zu zeigen...

Und noch eine Aufgabe, wo ich auf eine Lösung komme, aber nicht sicher bin, ob das gültig ist, was ich mach:

(5)LGS über R.
S: MATRIX * x = (1, 0, a-2)
Matrix:
1 2 3
-1 -4 a-4
2 6 7-a
Bestimme in Abhängigkeit von a € R die Lösbarkeit von S und berechne JEWEILS alle lösungen

x steht doch für nen Vektor x,y,z oder?
Muss ich das jetzt über Matrizenumformung machen? Oder darf ich einfach ein "schulisches" LGS draus machen? Aber wieso jeweils?
LGS: x + 2y + 3z = 1
-x - 4y + z*(a-4) = 0
2x+ 6y + z*(7-a) = a-2

Wenn ich das jetzt nach x,y,z auflöse stolpere ich darüber, dass z nicht 0 sein darf (Da a=(2y+z-2)/z-1) und mit 2z=5-a darf a dann nicht 5 sein.

Soll ich wirklich einfach nur x=...a..., y= ....a.... und z=....a... angeben und sagen, dass a ungleich 5?

(6)Wie gebe ich konkrete Äuivalenzklassen an? Wenn R eine Äuivalenzrelation auf M = (1,2,3,4,5,6) ist:
R= {(1,1), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (4,2), (4,4), (4,6), (6,2), (6,4), (6,6)}
Ist ja allegemein definiert als
a*= {x|x€M, x~a}

Wäre super, wenn du mir das auch noch sagen würdest, sorry dass ich so viel frage- aber wie gesagt, ich würde gerne die Klausur bestehen und scheitere an einigen Aufgaben der Übungsklausur, die nicht besprochen wurden/werden Smile
PiQuadratSechstel
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Anmeldungsdatum: 06.09.2011
Beiträge: 130

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2013 - 16:18:40    Titel:

Zu Aufgabe 2: Du sollst zeigen, dass es n Vektoren v1...vn gibt mit
c1v1+c2v2+...+cnvn=0, wobei sämtliche Koeffizienten nicht 0 sind.

zu Aufgabe 3: Nein. Der Schnitt ist nicht leer. Es gibt immer ein triviales Element, das in jedem Vektorraum enthalten ist. (Welches?)
Der Vektorraum, der nur dieses Element enthält, hat Dimension 0.

zu Aufgabe 4:
Hört sich gar nicht so schlecht an.

f: U->V und g: V-> W sind Abbildungen
zu zeigen: g°f surjektiv und g injektiv, DANN ist f surjektiv.

Beweis (Widerspruchsbeweis): Angenommen, f wäre nicht surjektiv. Dann gibt es ein v€V, für das es kein u€U gibt, mit f(u)=v. Da g injektiv ist, wird von g nur v auf g(v)=w abgebildet. Da v nicht in der Bildmenge von f liegt, gibt es kein u€U, sodass g(f(u))=w. Da aber g°f surjektiv ist, muss für jedes w€W ein u€U existieren mit g(f(u))=w. Das ist offensichtlich ein Widerspruch. Folglich muss f surjektiv sein.

(Die Angabe der Beweisstruktur macht es dem Korrektor, aber v. A. dir leichter, den Beweis zu verstehen bzw. strukturiert zu formulieren)

zu (4)
Ja, das reicht. Alternativ zu b) genügt auch auch A(k*v)=k*A(v) für alle k€K, v€V und A(u+v)=A(u)+A(v) für alle u, v€V

Zu 5: Prinzipiell sind eine Matrix und ein LGS das gleiche. Verwende aber lieber den Gauß-Algorithmus (Geht mit etwas Übung deutlich leichter).
Was m. E. gedacht ist, ist, dass du eine Argumentation mit dem Rang der Matrix durchführst. (Wie viele linear unabhängige Vektoren/Zeilen/Spalten gibt es in deiner 3x3 Matrix und wieviele in der erweiterten Koeffizientenmatrix)
Übrigens komme ich darauf, dass a=5 sein muss, damit des Gleichungssystem lösbar ist.

zu 6:
Prinzipiell kannst du die Äquivalenzklassen einfach durch Aufzählen der Elemente angeben.
(also z. B. [2]={2;4;6})
Übrigens fehlt in R mindestens noch das Paar (5,5)

Viel Erfolg noch

Gruß
Pi²/6
sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 538

BeitragVerfasst am: 16 Jul 2013 - 18:38:02    Titel:

Hi,

zu Aufgabe 2:
@Pi^2/6: Laut Aufgabenstellung soll er doch aber zeigen: Es gibt n Koeffizienten c1,...,cn, alle verschieden von 0, sodass

Die Vektoren v1,...,vn sind doch gegeben.

Versuche doch mal nen Widerspruchsbeweis:
Es sei

Wir sollen zeigen: Es gibt ein mit

Also nehmen wir an: Für alle gilt


Nun betrachte einen BELIEBIGEN Koeffizientenvektor mit
.
Nach unserer Annahme muss dann gelten. Also ist einer der Einträge in c gleich 0, etwa der k-te. Was weißt du dann über die Summe, wenn man den Summanden mit Koeffizient c_k weglässt? Was folgt daraus für c und schließlich für die Vektoren v1,...,vn?
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