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Stetigkeitsuntersuchungen
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pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 22:49:24    Titel: Stetigkeitsuntersuchungen

die Funktionen:

1.) xy/(sqrt(|x|)+y^2) und

2.) xy/(sqrt(|x|)+y)

im Punkt (0,0) nehmen die beiden Funktionen den Wert 0 an

sollen im Ursprung auf stetigkeit untersucht werden.

darf ich bei 1.) mit eps/delta Kriterium dann einfach abschätzen mit |x/y| und dann mit |x|< eps^2 und |y|<eps direkt auf die stetigkeit schließen?

zu 2.) hier würde ich dann einfach mit |xy/y| = |x| abschätzen,aber das sieht irgendwie komisch aus !? geht das so einfach? hab ich iregendwo nen fehler?


Zuletzt bearbeitet von pro_pk am 14 Jul 2013 - 00:23:50, insgesamt einmal bearbeitet
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2187

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 23:09:59    Titel:

So verkürzt, kann ich Deine Ansätze nicht so recht nachverfolgen, aber das kann ja an mir liegen. Ich würde allerdings bei diesen Beispielen eher das Folgenkriterium nehmen und die Folgen in Polarkoordinaten schreiben. Aber es führen ja viele Wege nach Rom...
supernova85
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Anmeldungsdatum: 13.03.2013
Beiträge: 312

BeitragVerfasst am: 13 Jul 2013 - 23:57:29    Titel:

Zitat:

die Funktionen:

1.) xy/(sqrt(|x|)+y^2) und

2.) xy/(sqrt(|x|)+y)


Die sind keine Funktionen.
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 00:22:52    Titel:

ich versteh jetzt nicht warum das keine funktionen sein sollen...
oder meinst du weil ich für die beiden Funktionen vergessen habe das für (0,0) die Funktionen den Wert 0 annehmen?!

also zunächst zur 1.)
wg. der stetigkeitsuntersuchung betrachte ich ja |f(x,y)-f(0,0)| und schätze dann ab:

|xy/(sqrt(|x|)+y^2) - 0|<= |xy^/y^2|=|x/y|
und wenn ich dann x und y geeignet wähle also |x|< eps^2 und |y|<eps dann komme ich ja gerade auf die Aussage:

|f(x,y)-f(0,0)|< eps , für die Stetigkeit

ich will das mit dem eps-delta Kriterium machen und hier kommt mir das halt was komisch vor. hab ich da irgendwo einen Fehler?
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2187

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 01:10:17    Titel:

In Deiner Abschätzung müsstest Du |y|>eps wählen, um auf |f(x,y)-f(0,0)|<eps zu kommen.

Supernova meinte sicher, dass es nur hingeschrieben Terme sind und keine Funktion f(x,y)=... für x,y !=0 und ... für (x,y)=(0,0). Insbesondere beim Fehlen der Definition für den Punkt (0,0) hat er natürlich recht, dass die wichtig ist. Ich hab die Frage so interpretiert, ob sich Funktionen die durch die Terme in 1. und 2. gegeben sind, stetig fortsetzen lassen in (0,0).

PS: Der Einwand von supernova mag pedantisch erscheinen, aber es ist sehr wichtig (insbesondere für angehende Mathematiker) solche feinen Unterschiede zu lernen und zu verinnerlichen.
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 01:51:10    Titel:

hmm stimmt es müsste heissen |y|> eps ,
aber dann passt das ja mit dem eps-delta kriterium doch nicht mehr, oder?
da ich ja etwas suche das mir y nach oben beschränkt und diese schranke soll ja von epsilon abhängen, damit man das kriterium anwenden kann.
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2187

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 03:12:55    Titel:

pro_pk hat folgendes geschrieben:
hmm stimmt es müsste heissen |y|> eps ,
aber dann passt das ja mit dem eps-delta kriterium doch nicht mehr, oder?

Zumindest Dein Weg es zu beweisen funktioniert so nicht. Der Grund, dass es nicht funktioniert, ist dass du das sqrt|x| vernachlässigst, genau dieser Term im Nenner jedoch wichtig ist für die Stetigkeit dieser Funktion in (0,0).
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 12:23:37    Titel:

wieso darf ich das denn nicht so abschätzen? Wenn ich sqrt(|x|) weglasse ist der resultierende term doch immer >= ?!
und wie kann ich das mit dem eps- delta kriterium zeigen?
jh8979
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Anmeldungsdatum: 04.07.2012
Beiträge: 2187

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 19:00:00    Titel:

Ja ist er, aber der Weg führt nicht dazu zu zeigen, dass die Funktion stetig ist. Lass mal y^2 weg bei der Abschätzung, das ist besser...
pro_pk
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Anmeldungsdatum: 13.05.2008
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2013 - 19:18:24    Titel:

was würde man denn dann aus dem ausdruck x/sqrt|x| erhalten??

gilt dann: xy/sqrt|x| = y*(-sqrt|x|) bzw. = y* sqrt|x| ?

und wenn man da beliebige Nullfolgen für x und y einsetzt, geht das ja immer gegen 0
also stetig wg. Folgenkriterium,

aber wie ginge das mit dem epsilon- delta kriterium?
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