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Gleichung mit verschiedenen Potenzen lösen
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amylikepanem
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Anmeldungsdatum: 01.04.2018
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 01 Apr 2018 - 13:23:46    Titel:

hey ich glaub zwar nicht dass das hier noch aktell ist aber ich hätte einfach nachdem ihr die -3 auf die andere seite gebracht habt die gleichung durch -3 geteilt und dann x ausgeklammert. Very Happy gern geschehen:D
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 01 Apr 2018 - 17:17:06    Titel:

Dann steht da aber immer noch das Absolutglied 1. Kann nicht erkennen dass es dadurch einfacher wird
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 03 Apr 2018 - 16:21:52    Titel:

Warum wollt Ihr die Gleichung nicht analytisch lösen (mit Erlaubnis Brünners)?
Code:
Die kubische Gleichung wird zunächst durch Division mit -2 auf die Normalform
x³ + rx² + sx + t = 0 gebracht.

   x³ + 2,5x² - 3x - 1,5  = 0

Durch die Substitution x = y - r/3 wird die Gleichung in eine reduzierte Form
y³ + py + q = 0 gebracht, in der kein quadratisches Glied mehr auftritt.

   (y - 0,8333333333333334)³ + 2,5(y - 0,8333333333333334)² - 3(y - 0,8333333333333334) - 1,5 = 0

Die neuen Koeffizienten können bequemer auch direkt berechnet werden:

   p = s - r²/3 = -5,083333333333334
   q = 2r³/27 - rs/3 + t = 2,1574074074074074

   y³ - 5,083333333333334y + 2,1574074074074074  = 0

Aus der Gleichung liest man also ab:

   p = -5,083333333333334            q = 2,1574074074074074

Nun muß der Wert R = (q/2)²+(p/3)³ betrachtet werden.

Ist R > 0, so hat die kubische Gleichung eine reelle und zwei komplexe Lösungen,
ist R = 0, hat sie drei reelle Lösungen, von denen zwei zusammenfallen,
und im Falle R < 0 drei verschiedene reelle Lösungen.

Für die ersten beiden Fälle verwendet man die Lösungsformel von Cardano/Tartaglia,
im dritten Fall, dem sogenannten "casus irreducibilis", löst man mithilfe
trigonometrischer Funktionen.

Im Falle dieser Gleichung ist R = -3,70138888888889.

Da R < 0, liegt der casus irreducibilis vor. Man erhält die Lösungen mit
y = 2·kubikwurzel(u)·cos(w/3 + v), wobei u = sqr(-(p/3)³) und cos(w) = -q/(2u) ist,
und v die Werte 0, 120° und 240° annimmt.

   cos(w) = -0,4890589020387665   u = 2,2056723621773426

   y  = 2,0013371367605184
    1
   y  = -2,4426535135515817
    2
   y  = 0,44131637679106245
    3

Die Substitution x = y - r/3 wird durch Subtraktion von r/3 rückgängig gemacht.
r=2,5 ist der quadratische Koeffizient der kubischen Gleichung.
Damit ergeben sich, der Größe nach geordnet, diese Lösungen:

   x  = -3,2759868468849147
    1
   x  = -0,3920169565422694
    2
   x  = 1,1680038034271845
    3
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 03 Apr 2018 - 17:13:11    Titel:

Spricht nichts dagegen. Ich für meinen Teil bin nur auf den aktuellen Post amylikepanem eingegangen.
Dennoch Danke für deinen Post
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